Question

9．如图所示，将一质量m=0.1kg的小球自水平平台顶端O点水平抛出，小球恰好无碰撞地落到平台右侧一倾角为α=53°的光滑斜面顶端A并沿斜面下滑，斜面底端B与光滑水平轨道平滑连接，小球以不变的速率过B点后进入BC部分，再进入竖直圆轨道内侧运动．已知斜面顶端与平台的高度差h=3.2m，斜面高H=15m，竖直圆轨道半径R=5m．取sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，g=10m/s²，试求：
（1）小球水平抛出的初速度v₀及斜面顶端与平台边缘的水平距离x；
（2）小球从平台顶端O点抛出至落到斜面底端B点所用 的时间；
（3）若竖直圆轨道光滑，小球运动到圆轨道最高点D时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）小球水平抛出后刚好能沿光滑斜面下滑，说明此时小球的速度的方向恰好沿着斜面的方向，由此可以求得初速度的大小；小球在接触斜面之前做的是平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得接触斜面之前的水平方向的位移，即为斜面顶端与平台边缘的水平距离；
（2）小球在竖直方向上做的是自由落体运动，根据自由落体的规律可以求得到达斜面用的时间，到达斜面之后做匀加速直线运动，求得两段的总时间即可．
（3）先求出小球运动到圆轨道最高点的速度，再根据圆周运动向心力公式即可求解．

解答 解：（1）小球做平抛运动落至A点时，由平抛运动的速度分解图可得：
v₀=v_ycot α  
由平抛运动规律得：v${\;}_{y}^{2}$=2gh
h=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$  
x=v₀t₁
联立解得：v₀=6 m/s，x=4.8 m
（2）小球从平台顶端O点抛出至落到斜面顶端A点，需要时间
t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.8 s 
小球在A点的速度沿斜面向下，速度大小
v_A=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=10 m/s 
从A点到B点
由动能定理得mgH=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$ 
解得v_B=20 m/s
小球沿斜面下滑的加速度a=gsin α=8 m/s²
由v_B=v_A+at₂，
解得t₂=1.25 s 
小球从平台顶端O点抛出至落到斜面底端B点所用的时间
t=t₁+t₂=2.05 s 
（3）水平轨道BC及竖直圆轨道均光滑，小球从B点到D点，由动能定理可得
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$ 
在D点由牛顿第二定律可得：F_N+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得：F_N=3 N 
由牛顿第三定律可得，小球在D点对轨道的压力F_N′=3 N，方向竖直向上
答：（1）小球水平抛出的初速度v₀为6 m/s，斜面顶端与平台边缘的水平距离x为4.8 m；
（2）小球从平台顶端O点抛出至落到斜面底端B点所用 的时间为2.05 s；
（3）若竖直圆轨道光滑，小球运动到圆轨道最高点D时对轨道的压力为3 N，方向竖直向上．

点评 小球在接触斜面之前做的是平抛运动，在斜面上时小球做匀加速直线运动，根据两个不同的运动的过程，分段求解即可．