题目内容

13．打井施工时要将一质量可忽略不计的坚硬底座A送到井底，由于A与井壁间摩擦力很大，工程人员采用了如图所示的装置．图中重锤B质量为m，下端连有一劲度系数为k的轻弹簧，工程人员先将B放置在A上，观察到A不动；然后在B上再逐渐叠加压块，当压块质量达到m时，观察到A开始缓慢下沉时移去压块．将B提升至弹簧下端距井口为H0处，自由释放B，A被撞击后下沉的最大距离为h1，以后每次都从距井口H0处自由释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内．
（1）求下沉时A与井壁间的摩擦力大小f和弹簧的最大形变量△L；
（2）求撞击下沉时A的加速度大小a和弹簧弹性势能Ep；
（3）若第n次撞击后，底座A恰能到达井底，求井深H．

分析 （1）A开始缓慢下沉时，受力平衡，根据平衡条件求解f，底座质量不计，所以合力为零，结合胡克定律求解；
（2）撞击后AB一起减速下沉，对B，根据牛顿第二定律以及功能关系求解；
（3）A第二次下沉，由功能关系求出下降的距离与第一次下降距离的关系，同理求出第三次下降的距离与第一次下降距离的关系，进而求出第n次下沉过程中向下滑动的距离，再结合数学知识求解．

解答 解：（1）A开始缓慢下沉时，受力平衡，则有：
f=2mg
底座质量不计，所以合力为零，所以始终有：
k△L=f
解得：$△L=\frac{2mg}{k}$
（2）撞击后AB一起减速下沉，对B，根据牛顿第二定律得：
k△L-mg=ma
解得：a=g，
A第一次下沉，由功能关系得：
mg（H0+△L+h1）=EP+fh1
解得：${E}_{P}=mg（{H}_{0}-{h}_{1}+\frac{2mg}{k}）$
（3）A第二次下沉，由功能关系
mg（H0+△L+h1+h2）=EP+fh2
又f=2mg
解得：h2=2h1
A第三次下沉，由功能关系有：
mg（H0+△L+h1+h2+h3）=EP+fh3
解得  h3=4h1
同理  A第n次下沉过程中向下滑动的距离为：
${h}_{n}={2}^{n-1}{h}_{1}$
所以井底深度为：$H={h}_{1}+{h}_{2}+{h}_{3}=（{2}^{n}-1）{h}_{1}$
答：（1）求下沉时A与井壁间的摩擦力大小f为2mg，弹簧的最大形变量△L为$\frac{2mg}{k}$；
（2）求撞击下沉时A的加速度大小a为g，弹簧弹性势能为$mg（{H}_{0}-{h}_{1}+\frac{2mg}{k}）$；
（3）若第n次撞击后，底座A恰能到达井底，则井深H为（2n-1）h1．

点评 本题主要考查了平衡条件、牛顿第二定律以及功能关系的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况，第三问能求出每次下降距离的数学表达式，再根据数学知识求解，难度较大．

练习册系列答案
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