Question

8．如图所示，足够长的平行金属导轨MN、M′N′处于方向水平向左、磁感应强度B₁=$\frac{5}{6}T$的匀强磁场中，两导轨间的距离L=1m，导轨右端N、N′连接着与水平面成θ=30°的足够长光滑平行导轨NO、N′O′、NN′垂直于MN，倾斜导轨处于方向垂直与导轨向上、磁感应轻度B₂=1T的匀强磁场中，两根金属杆P、Q的质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，杆与水平导轨间的动摩擦因数为μ=0.4，现将P杆放置与NN′处并给其平行于水平导轨向左v=5m/s的初速度，与此同时，使Q杆在一平行导轨向下的外力F的作用下，从静止开始做加速度为a=6m/s²的匀加速运动，Q杆距离NN′足够远，Q杆一直在斜轨上运动，不考虑感应电流产生磁场的影响，导轨电阻不计，g取10m/s²
（1）求Q杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系；
（2）求P杆停止时Q杆已运动的位移S；
（3）已知P杆进入水平轨道直到停止的过程中，外力F对Q杆所做的功为15J，求这一过程中系统产生的总热量Q_总．

Answer 1

分析 （1）Q杆下滑时做匀加速运动，根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系式，得到F和t的关系．
（2）Q杆在斜轨道滑行中，P杆在水面上作减速运动，对P杆，根据牛顿第二定律列式，得到加速度与时间的关系，由P杆的加速度与时间的图象可知：图象与时间轴所围成的面积表示P杆速度的变化量，即M杆停止时，速度的改变量大小，列式求出M杆运动时间，根据两杆运动的同时性，得到Q杆的运动时间，再由位移时间公式求解Q杆运动的位移s．
（3）这一过程中系统产生的总热量等于P杆摩擦产生的热量和Q杆产生的焦耳热之和．根据功能关系分别求解得出

解答 解：（1）Q杆在斜轨道滑行过程中，设受到的安培力为F_安，由左手定则可判断安培力沿斜面向上
沿着斜面方向有：F+mgsin30°-F_安=ma
F_安=B₂IL   I=$\frac{{B}_{2}Lv}{2R}$ 
Q杆匀加速运动 v=at  
将m=1kg B₂=1T   L=1m  R=0.5Ω   a=6m/s²
代入得：F+1×10×$\frac{1}{2}$-1×$\frac{1×1×6t}{2×0.5}$×1=1×a
化简整理得：F=1+6t
（2）Q杆在斜轨道滑行时，P杆在水平面上做减速运动，设P杆受到的安培力为F_安，由左手定则可判断安培力水平向右
对P杆受力分析结合牛顿第二定律得：f=μN=μ（mg+F_安）
F_安=B₁IL  I=$\frac{{B}_{2}Lv}{2R}$  
Q杆匀加速运动 v=at
对P受力分析结合牛顿第二定律可得：
f=ma
将m=1kg B₂=1T L=1m R=0.5Ω a=6m/s²
代入得：0.4×（1×10+$\frac{5}{6}$×$\frac{1×1×6t}{2×0.5}$×1）=1×a
得：a=4+2t
P杆作加速度逐渐增大的减速运动，在P杆加速度与时间的图象中，可知围成的面积是P杆速度的变化量
当P杆停止时，速度的改变量大小为5m/s．
设P杆经过时间t恰好停止运动．速度的变化量△v_P=5m/s△v_P=$\frac{1}{2}$（4+4+2t）
解得：t=1s
对Q杆：s=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×6×1=3m
（3）设摩擦力对P杆做的功为W_f、安培力做功为W_安
对于P杆根据动能定理：W_f=0$-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
W_f=0$-\frac{1}{2}$×1×5²=12.5J
对于Q杆根据动能定理：W_安+W_F+（mgsinθ）s=$\frac{1}{2}$mv²
v=at
代入数据得：W_安+15J+（1×10×$\frac{1}{2}$）×3=$\frac{1}{2}$×1（6×1）²
W_安=-12J
所以两金属棒共同产生的焦耳热 Q_焦=W_克安=12J
总热量 Q_总=W_克f+W_克安=12.5J+12J=24.5J
答（1）求Q杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系为F=1+6t
（2）求P杆停止时Q杆已运动的位移S=3m；
（3）已知P杆进入水平轨道直到停止的过程中，外力F对Q杆所做的功为15J，求这一过程中系统产生的总热量Q_总=24.5J

点评 本题是复杂的电磁感应问题，离不开力和运动关系的分析、功和能关系的分析．对于热量，若回路中电流是变化的，往往根据能量守恒定律求解