Question

18．如图所示，斜面AB倾角为30°，底端A点与斜面上B点相距10m，甲、乙两物体大小不计，与斜面间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，某时刻甲从A点沿斜面以v₁=10m/s的初速度滑向B，同时乙物体从B点以v₂=7.25m/s的初速度滑向A，（g=10m/s² 最大静摩擦力等于滑动摩擦力）求：
（1）甲物体沿斜面上滑的加速度大小；
（2）甲、乙两物体经多长时间相遇．

Answer 1

分析 （1）对甲进行受力分析，根据牛顿第二定律求出滑块上滑的加速度；
（2）结合速度时间公式求出速度减为零的时间，求出上滑的最大位移，根据牛顿第二定律求出乙下滑的加速度，根据位移公式求出下滑的位移，从而得出AB两点间的距离；然后再结合几何关系和运动学的公式即可求出相遇的时间．

解答 解：（1）滑块甲沿斜面向上运动时，加速度大小为a₁：
m₁gsin 30°+μm₁gcos 30°=m₁a₁
${a}_{1}^{\;}=gsin30°+μgcos30°$
代入数据：${a}_{1}^{\;}=10×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：a₁=12.5 m/s²                                        
（2）因为m₁gsin 30°＜μm₁gcos 30°所以A上滑速度减为0后，不再返回    
甲能上滑得最大距离s₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{1{0}_{\;}^{2}}{2×12.5}$=4m                        
甲上滑用时t₁=$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{10}{12.5}s=0.8s$                             
设滑块乙沿斜面向下运动时，加速度大小为a₂，根据牛顿第二定律得：
m₂gsin 30°-μm₂gcos 30°=m₂a₂
代入数据解得：a₂=$gsin30°-μgcos30°=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-2.5 m/s²             
由运动学公式可知乙下滑时有${s}_{2}^{\;}=s-{s}_{1}^{\;}={v}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$        
$10-4=7.25{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}×2.5{t}_{2}^{2}$      
解得t₂=1s                                                 
所以甲乙两物体经1s后相遇
答：（1）甲物体沿斜面上滑的加速度大小$12.5m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）甲、乙两物体经1s时间相遇

点评 解决本题的关键理清物体在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．