题目内容

17．如图所示，一个固定在竖直平面内的轨道，由光滑的水平面AB、半径为R的光滑半圆弧轨道BC（圆心在O点）和半径为$\sqrt{3}$R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道DPE（圆心在C点）三部分组成，已知C、D两点在同一水平线，C、O、E、B在同一竖直线，CP连线与竖直线CE的夹角为60°．现有一质量为m的小球在大小为F的水平恒力作用下，从静止开始沿光滑水平面AB运动，当小球运动到B点时，撤去水平恒力F，然后小球沿圆弧运动经过C点，最后恰好落到P点．重力加速度取g．
（1）求小球经过C点时对轨道的压力大小；
（2）求恒力F作用的距离为多少；
（3）若改变恒力F的作用距离，能否使小球经过C点且落到圆弧DE上的Q点（图中未画出），CQ连线与CE连线的夹角为30°，若能求出外力F作用的距离，若不能请说明理由．

分析 （1）小球从C到P做平抛运动，落在P点时由竖直位移与水平位移公式求出小球通过C点的速度．在C点，由牛顿运动定律求小球经过C点时对轨道的压力．
（2）对于A到C的过程，运用动能定理列式求恒力F作用的距离．
（3）小球恰好通过C点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求C点的最小速度，由平抛运动的规律求出小球落在圆弧DE上时CQ与CE夹角的最小值．即可作出判断．

解答 解：（1）小球从C到P做平抛运动，落在P点时，有：
  $\sqrt{3}$Rsin30°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  $\sqrt{3}$Rcos30°=vCt
联立解得：vC=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{4}}$
在C点，由牛顿第二定律得 mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg
由牛顿第三定律得，小球经过C点时对轨道的压力大小为（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg．
（2）对于A到C的过程，运用动能定理得
  Fs-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：恒力F作用的距离 s=$\frac{（8+3\sqrt{3}）mgR}{4F}$ 
（3）小球恰好通过C点时，由重力提供向心力，则有
  mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得 v0=$\sqrt{gR}$
对于平抛运动的过程，有：
  x=v0t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由几何知识有 x2+y2=（$\sqrt{3}$R）2；
联立解得 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
设OQ与CE的夹角为α，则 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$
则α＞30°
所以CQ连线与CE连线的夹角不可能为30°．
答：
（1）小球经过C点时对轨道的压力大小是（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg；
（2）恒力F作用的距离为$\frac{（8+3\sqrt{3}）mgR}{4F}$；
（3）若改变恒力F的作用距离，不能使小球经过C点且落到圆弧DE上的Q点，CQ连线与CE连线的夹角为30°．

点评 解决本题的关键要挖掘隐含条件，如小球落在圆弧DE上时两个分位移满足圆方程，小球恰好通过C点时，由重力提供向心力．

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