如图所示.一个固定在竖直平面内的轨道.由光滑的水平面AB.半径为R的光滑半圆弧轨道BC和半径为$\sqrt{3}$R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道DPE三部分组成.已知C.D两点在同一水平线.C.O.E.B在同一竖直线.CP连线与竖直线CE的夹角为60°．现有一质量为m的小球在大小为F的水平恒力作用下.从静止开始沿光滑水平面AB运动.当小球运动到B点时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图所示，一个固定在竖直平面内的轨道，由光滑的水平面AB、半径为R的光滑半圆弧轨道BC（圆心在O点）和半径为$\sqrt{3}$R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道DPE（圆心在C点）三部分组成，已知C、D两点在同一水平线，C、O、E、B在同一竖直线，CP连线与竖直线CE的夹角为60°．现有一质量为m的小球在大小为F的水平恒力作用下，从静止开始沿光滑水平面AB运动，当小球运动到B点时，撤去水平恒力F，然后小球沿圆弧运动经过C点，最后恰好落到P点．重力加速度取g．
（1）求小球经过C点时对轨道的压力大小；
（2）求恒力F作用的距离为多少；
（3）若改变恒力F的作用距离，能否使小球经过C点且落到圆弧DE上的Q点（图中未画出），CQ连线与CE连线的夹角为30°，若能求出外力F作用的距离，若不能请说明理由．

分析（1）小球从C到P做平抛运动，落在P点时由竖直位移与水平位移公式求出小球通过C点的速度．在C点，由牛顿运动定律求小球经过C点时对轨道的压力．
（2）对于A到C的过程，运用动能定理列式求恒力F作用的距离．
（3）小球恰好通过C点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求C点的最小速度，由平抛运动的规律求出小球落在圆弧DE上时CQ与CE夹角的最小值．即可作出判断．

解答解：（1）小球从C到P做平抛运动，落在P点时，有：
$\sqrt{3}$Rsin30°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$\sqrt{3}$Rcos30°=v_Ct
联立解得：v_C=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{4}}$
在C点，由牛顿第二定律得 mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg
由牛顿第三定律得，小球经过C点时对轨道的压力大小为（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg．
（2）对于A到C的过程，运用动能定理得
Fs-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：恒力F作用的距离 s=$\frac{（8+3\sqrt{3}）mgR}{4F}$
（3）小球恰好通过C点时，由重力提供向心力，则有
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得 v₀=$\sqrt{gR}$
对于平抛运动的过程，有：
x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由几何知识有 x²+y²=（$\sqrt{3}$R）²；
联立解得 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
设OQ与CE的夹角为α，则 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$
则α＞30°
所以CQ连线与CE连线的夹角不可能为30°．
答：
（1）小球经过C点时对轨道的压力大小是（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg；
（2）恒力F作用的距离为$\frac{（8+3\sqrt{3}）mgR}{4F}$；
（3）若改变恒力F的作用距离，不能使小球经过C点且落到圆弧DE上的Q点，CQ连线与CE连线的夹角为30°．

点评解决本题的关键要挖掘隐含条件，如小球落在圆弧DE上时两个分位移满足圆方程，小球恰好通过C点时，由重力提供向心力．

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7．

一质点做直线运动，其运动的位移x跟时间t的比值$\frac{x}{t}$与时间t的关系图线为一条过原点的倾斜直线，如图所示．由图可知，t=2s时质点的速度大小为（　　）

8．某物体从静止开始做匀加速直线运动，第3s内的位移与第5s内的位移之比为（　　）

5．

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12．某气球内充有温度为27℃、压强为1.5×10⁵P_a的氦气（视为理想气体），其体积为5m³．
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2．如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右（图甲中由B到C），场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示．在t=1s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度v₀射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v₀射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=L，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s．不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　）

	A．	电场强度E₀和磁感应强度B₀的大小之比为2 v₀：1
	B．	第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为2：1
	C．	第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为 1：4
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9．某同学利用如图甲所示装置探究平抛运动中机械能是否守恒．在斜槽轨道的末端安装一个光电门B，调节激光束与球心等高，斜槽末端水平．地面上依次铺有白纸、复写纸，让小球从斜槽上固定位置A点无初速释放，通过光电门后落在地面的复写纸甲上，在白纸上留下打击印．重复实验多次，测得小球通过光电门的平均时间为2.50ms．（当地重力加速度g=9.8m/s²）

（1）用游标卡尺测得小球直径如图乙所示，则小球直径为d=5.00mm，由此可知小球通过光电门的速度v_B；
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6．

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	B．	v_b=$\frac{a}{b}$v_a
	C．	行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间
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20．

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	A．	图象函数表达式为F=$m\frac{{v{\;}^2}}{l}+mg$
	B．	重力加速度g=$\frac{b}{l}$
	C．	绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
	D．	绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变

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