Question

10．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第 III象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板c₁、c₂，两板间距为d₁=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板c₁与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板c₃，平板c₃在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距d₂=0.18m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v₀=42m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过c₁板上的M孔，进人磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷qm=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=210m，不考虑空气阻力．求：
（1）求M点速度大小？
（2）求匀强电场的场强大小；
（3）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板c₃上，求磁感应强度的取值范围．

Answer 1

分析 本题是一个球在光滑绝缘的桌面上先在电场中做类平抛运动，后进入磁场做匀速圆周运动的特例
（1）．M点的速度就是粒子做类平抛运动的末速度，已知平抛的初速度和末速度的方向，由速度的分解很方便的求出．
（2）．根据类平抛运动的位移公式和几何关系可求得粒子在电场中的加速度，从而求出场强的大小．
（3）．要使小球打在板上，先要考虑B越大，半径越小，越容易从OQ之间穿出，则要考虑刚好打在Q点的情况；另外若B越小，半径越大，则有可能打到下板上，所以当B最小时，轨迹与下板相切．

解答 解：（1）小球在第II象限做类平抛运动，由速度的分解可得：
$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}=8m/s$
（2）垂直电场方向的位移：s=v₀t         ①
平行于电场方向的速度关系有：at=v₀tanθ    ②
由牛顿第二定律：qE=ma         ③
联立上述式解得：$E=8\sqrt{2}V/m$  
（3）小球进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图：

由洛仑兹力提供向心力有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{mv}{qR}$
小球刚好能打到Q点时，磁感应强度最大设为B₁．此时小球的轨迹半径为R₁，由两个直角三角形相似的几何关系有：
$\frac{{R}_{1}}{L+{d}_{2}-{R}_{1}}=\frac{L-{R}_{1}}{{R}_{1}}$
解得：
R₁=0.4m
B₁=1T 
小球刚好不与c₂板相碰时，磁感应强度最大设为B₂．此时小球的轨迹半径为R₂，由几何关系有：
R₁=d₁
解得：${B}_{2}=\frac{2}{3}T$
故：磁感应强度的取值范围：
$\frac{2}{3}T≤B≤1T$
答：（1）M点速度大小8m/s．
（2）匀强电场的场强大小$8\sqrt{2}V/m$．
（3）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板c₃上，磁感应强度的取值范围为$\frac{2}{3}T≤B≤1T$．

点评 第①②小题还属于类平抛与圆周运动的综合，结合牛顿运动定律不难解出，本题的难点在于第③问B的最大值，刚好打在Q点时，这有两个相似的直角三角形，根据相似关系求出最小的半径（对应B的最大值）．