Question

15．如图所示，长为L的水平面AB与倾角α=30°的斜面BC在B点平滑连接，水平面上质量为m的小推车从A处由静止开始，在沿水平方向的恒定推力F作用下运动．当小推车通过B点后撤去推力，靠惯性滑行到达斜面顶端时速度刚好减为零．已知小推车与水平面和斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，求：
（1）小推车到达B点时推力的功率；
（2）小推车在斜面上由B运动到C的过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求得推车在B的速度，然后由瞬时功率的定义式求得功率；
（2）根据功的定义式求得BC运动过程中重力、摩擦力做的功，然后对该过程应用动能定理即可联立求解．

解答 解：（1）小推车由A运动到B过程中只有推力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$FL-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{\frac{2（F-μmg）L}{m}}$；
所以，小推车到达B点时推力的功率为：$P=F{v}_{B}=F\sqrt{\frac{2（F-μmg）L}{m}}$；
（2）小推车在BC上运动只有摩擦力、重力做功，且f=μmgcosθ，从B到C克服摩擦力做功为：-W_f=μmgBCcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}μmgBC$
重力做功为：${W}_{G}=-mgBCsinθ=-\frac{1}{2}mgBC$；
小推车从B到C只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：${W}_{f}+{W}_{G}=-mgBC（\frac{\sqrt{3}}{2}μ+\frac{1}{2}）=0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-FL+μmgL$
所以，小推车在斜面上由B运动到C的过程中克服摩擦力做的功为：$-{W}_{f}=\frac{\sqrt{3}}{2}μmgBC=\frac{\sqrt{3}}{2}μ\frac{FL-μmgL}{\frac{\sqrt{3}}{2}μ+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}μL（F-μmg）}{\sqrt{3}μ+1}$；
答：（1）小推车到达B点时推力的功率为$F\sqrt{\frac{2（F-μmg）L}{m}}$；
（2）小推车在斜面上由B运动到C的过程中克服摩擦力做的功为$\frac{\sqrt{3}μL（F-μmg）}{\sqrt{3}μ+1}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．