Question

20．如图所示，质量M=2kg的小车静止在光滑的水平面上，小车AB部分是半径R=0.3m的四分之一光滑圆弧轨道，BC部分是长L=0.25m的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，水平轨道左端C离地面高度h=0.1m．质量m=lkg的小物块（视为质点）在小车上A点从静止沿轨道下滑，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.6，重力加速度取g=10m/s²，求：
（1）小物块运动到B点时小车的速度大小；
（2）小物块落地时与小车之间的水平距离．

Answer 1

分析 （1）小滑块在小车运动的过程中，小球和小车组成的系统水平方向不受外力，系统的水平动量不守恒．由动量守恒定律和能量守恒定律结合求解．
（2）小滑块离开小车后做平抛运动，由高度求得运动时间，再结合运动学的公式即可求出小滑块落地时与小车之间的水平距离．

解答 解：（1）设小滑块运动到B点时小滑块和小车的速度大小分别为v₁和v₂．小滑块与小车在运动的过程中系统水平方向的动量守恒，
取水平向左为正方向，由动量守恒定律：mv₁-Mv₂=0，
由能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²．
解得：v₁=2m/s，v₂=1m/s
（2）设小滑块运动到C点时小滑块和小车的速度大小分别为v₃和v₄．小滑块与小车在运动的过程中系统水平方向的动量守恒，取水平向左为正方向，由动量守恒定律有：
mv₃-Mv₄=0，
由能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²+μmgL．
解得：v₁=$\sqrt{2}$m/s，v₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m/s，
小滑块离开小车后做平抛运动，平抛运动的时间为：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.1}{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$s，
小滑块的水平位移大小为：
s_滑块=v₁t=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{10}$=0.2m，
此过程中小车的位移大小为：
s_车=v₂t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{10}$=0.1m
所以小滑块落地时与小车之间的水平距离：s=s_滑块+s_车=0.2+0.1=0.3m；
答：（1）小球运动到B点时小车的速度大小是1m/s；
（2）小滑块落地时与小车之间的水平距离是0.3m．

点评 本题是系统的水平方向动量守恒和能量守恒的问题，要注意系统的总动量并不守恒．同时要掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法．