Question

5．磁悬浮列车的模拟装置如图所示，在水平面上，两根平行直导轨上有一正方形金属框abcd，导轨间有竖直方向且等距离（跟ab边的长度相等）的匀强磁场B₁和B₂．当匀强磁场B₁和B₂同时以速度v沿直导轨向右运动时，金属框也会沿直导轨运动．设直导轨间距为L=0.50m，B₁=B₂=1.0T，磁场运动的速度为v=5.0m/s．金属框的质量m=0.10kg，电阻R=2.0Ω．
（1）若金属框不受阻力作用，试用v-t图定性描述金属框的运动；
（2）若金属框受到f=lN的阻力作用时，金属框运动的最大速度是多大？
（3）若金属框仍受到f=lN的阻力作用．而磁场改为以a=2m/s²的加速度作初速为0的匀加速运动，当金属框也达到匀加速运动状态时，金属框中的电功率为多大？

Answer 1

分析 （1）当磁场运动时，金属框相对于磁场运动，切割产生感应电流，产生安培力而运动．
（2）当金属框所受的安培力等于阻力时，速度最大，在求解感应电动势时，速度为金属框相对于磁场的速度．
（3）磁场匀加速运动，要使金属框也匀加速运动可见金属框与磁场的速度差为一定值，故两者加速度相同，据此分析计算金属框中的电功率为多大即可．

解答 解：（1）金属框做加速度越来越小的变加速运动，因磁场运动时，框与磁场有相对运动，ad、bc边切割磁感线，框中产生感应电流，同时受安培力，方向水平向右，故使线框向右加速运动，随着金属框速度的增加，框与磁场间相对运动的速度越来越小，框中产生的感应电动势和感应电流越来越小，安培力也越来越小，加速度越来越小，故金属框做加速度越来越小的变加速运动，v-t图象如下图所示：

（2）金属框受到安培力与阻力作用下做加速运动，当安培力与阻力平衡时，金属框的速度最大
所以有：f=2BIL
又I=$\frac{E}{R}=\frac{2BL（v-{v}_{m}）}{R}$
所以有：f=$\frac{2B•2BL（v-{v}_{m}）}{R}L$
所以可得：${v}_{m}=v-\frac{fR}{4{B}^{2}{L}^{2}}=5-\frac{1×2}{4×{1}^{2}×0．{5}^{2}}m/s=3m/s$
（3）对于金属框有，所受安培力为：
${F}_{安}=2BIL=\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$
根据牛顿第二定律有：
F_安-f=4$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}-f=m{a}_{2}$
金属框要做匀加速运动，必有v₁-v₂为定值，
所以金属框运动的加速度与磁场运动的加速度相同，即a₂=a₁
所以有：v₁-v₂=$\frac{（f+ma）R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
所以此时电路中的电功率为：
P=EI=$\frac{{E}^{2}}{R}=\frac{[2BL（{v}_{1}-{v}_{2}）]^{2}}{R}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R}$=$\frac{\frac{（f+ma）^{2}{R}^{2}}{4{B}^{2}{L}^{2}}}{R}=\frac{（1+0.1×2）^{2×2}}{4×{1}^{2}×0．{5}^{2}}W=2.88W$
答：（1）图象解答所示；
（2）若金属框受到f=lN的阻力作用时，金属框运动的最大速度是3m/s；
（3）若金属框仍受到f=lN的阻力作用．而磁场改为以a=2m/s²的加速度作初速为0的匀加速运动，当金属框也达到匀加速运动状态时，金属框中的电功率为2.88W．

点评 解决本题的关键知道金属框相对于磁场运动，产生感应电流，产生安培力作用，结合共点力平衡和能量守恒定律进行求解