Question

20．如图所示，固定平行长导轨与水平面夹角θ=30°，导轨间距L=0.4m，导轨平面上有一正方形区域abcd．区域内存在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=0.5T的有界匀强磁场，其上、下边界均与导轨垂直．电阻相同的甲、乙金属棒质量均为m=0.01kg，甲棒刚好处在磁场的上边界，两棒距离也为L，两棒均与导轨垂直．t=0时，将乙棒从静止开始释放，乙棒一进入磁场立即做匀速运动；t=0时，将甲棒从静止开始释放的同时施加一个沿着导轨向下的拉力F，保持甲棒在运动过程中加速度始终是乙棒未进入磁场前的2倍．不计导轨电阻及一切摩擦阻力．取重力加速度大小g=10m/s²．
（1）求乙棒的电阻R；
（2）求从t=0开始到乙棒进入磁场前拉力F随时间t的变化关系；
（3）若从t=0开始到乙棒到达磁场前的过程中，乙棒产生的热量Q=0.073J，求甲从ab运动到cd的过程中拉力对甲做的功W．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可以求出乙进入磁场时的速度，乙棒进入磁场时做匀速直线运动，应用平衡条件可以求出乙的电阻．
（2）由牛顿第二定律求出加速度，然后由牛顿第二定律求出拉力大小，然后分析答题．
（3）应用能量守恒定律可以求出拉力对甲做功．

解答 解：（1）甲的加速度始终是乙的2倍，
则乙进入磁场时甲的位移是乙的2倍，
乙进入磁场时甲已经离开磁场，
对乙，由动能定理得：mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=2m/s，
乙受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
乙进入磁场时做匀速直线运动，由平衡条件得：
mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，解得：R=0.8Ω；
（2）乙进入磁场前，由牛顿第二定律得：
a_乙=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ=10sin30°=5m/s²，
由题意可知，甲的加速度为乙的两倍，则a_甲=2a_乙=10m/s²，
乙进入磁场需要的时间；t_乙=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{乙}}}$=$\sqrt{\frac{2×0.4}{5}}$=0.4s，
甲在磁场中的运动时间：t_甲=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{甲}}}$=$\sqrt{\frac{2×0.4}{10}}$=0.2$\sqrt{2}$s，
对甲，由牛顿第二定律得，
0-0.2$\sqrt{2}$s内，甲在磁场过程：F+mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{a}_{甲}t}{2R}$=ma_甲，解得：F=0.05+0.25t，
在0.2$\sqrt{2}$-0.4s内，甲离开磁场后：F+mgsinθ=ma_甲，解得：F=0.05N；
（3）甲到达cd时的速度：v_甲=$\sqrt{2{a}_{甲}L}$=$\sqrt{2×10×0.4}$=2$\sqrt{2}$m/s，
此时乙的速度：v_乙=$\frac{{v}_{甲}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$m/s，
乙的位移：x_乙=$\frac{{v}_{乙}^{2}}{2{a}_{乙}}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{2×5}$=0.2m，
甲从ab运动到cd的过程，由能量守恒定律得：
mgLsinθ+mgx_乙θ+W=2Q+$\frac{1}{2}$mv_甲²+$\frac{1}{2}$mv_乙²，
解得：W=0.166J；
答：（1）乙棒的电阻R为0.8Ω；
（2）从t=0开始到乙棒进入磁场前拉力F随时间t的变化关系为：0-0.2$\sqrt{2}$s内：F=0.05+0.25t，0.2$\sqrt{2}$-0.4s内：F=0.05N；
（3）甲从ab运动到cd的过程中拉力对甲做的功W为0.166J．

点评 本题是一道电磁感应与力学相结合的综合题，分析清楚导体棒的运动过程是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理与能量守恒定律可以解题．