Question

10．如图所示，两根足够长的平行粗糙的金属轨道MN、PQ固定在绝缘水平面内，相距为l，导轨左端与阻值为R的电阻相连．现有一质量为m、长也为l的金属棒，搁置在两根金属导轨上，与导轨垂直且接触良好，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，设磁场区域足够大，导轨足够长，导轨电阻和金属棒电阻不计，导轨与金属棒间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）若金属棒在大小为F、方向水平向右的恒定外力的作用下由静止开始运动，求金属棒在运动过程中的最大加速度和最大速度；
（2）现金属棒以初速度v₀向右滑行，金属棒从开始运动到停止的整个过程中，通过电阻的电荷量为q，求在运动过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）刚开始运动时，速度为零，加速度最大，根据牛顿第二定律求出最大加速度，当加速度为零时，速度最大，根据切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律求出最大速度．
（2）根据q=$\frac{△Φ}{R}$求出金属棒滑行的距离，结合能量守恒求出运动过程中产生的焦耳热．

解答 解：（1）设金属棒运动到某位置时的速度为v，此时金属棒产生的感应电动势为：E=Blv，
回路中的感应电流为：I=$\frac{E}{R}$，
金属棒所受的安培力F_安=BIl，
根据牛顿第二定律得：F-$μmg-\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}=ma$，
由上式可以看出，当速度v=0时，金属棒的加速度最大，最大加速度a=$\frac{F}{m}-μg$，方向水平向右．
当金属棒的加速度a=0时，速度最大，有：F-$μmg=\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{m}}{R}$，
解得最大速度为：v_m=$\frac{（F-μmg）R}{{B}^{2}{l}^{2}}$，方向沿导轨平面向右．
（2）根据q=$\frac{△Φ}{R}=\frac{Bls}{R}$得金属棒从开始运动到停止的整个过程中，运动的路程为：s=$\frac{qR}{Bl}$，
根据能量守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=Q+μmgs$，
解得产生的焦耳热为：Q=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{μmgqR}{Bl}$．
答：（1）金属棒在运动过程中的最大加速度为$\frac{F}{m}-μg$，方向水平向右，最大速度为$\frac{（F-μmg）R}{{B}^{2}{l}^{2}}$，方向沿导轨平面向右．
（2）在运动过程中产生的焦耳热为$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{μmgqR}{Bl}$．

点评 本题考查了电磁感应与力学和能量的综合运用，掌握切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律是解决本题的关键，知道速度为零时，加速度最大，加速度为零时，速度最大．