Question

18．地磁场可以减少宇宙射线中的带电粒子对地球上生物体的危害．研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场．如图，模拟地球半径为R，地球赤道平面附近的地磁场简化为赤道上方厚度为2R、磁场感应度强度大小为B、方向垂直于赤道平面的匀强磁场．磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子．研究发现，当粒子速度为2v时，沿径向方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球．不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应．
（1）请画出速度为2v、沿径向方向射入磁场的粒子轨迹，并求此粒子的比荷（$\frac{q}{m}$）；
若该种粒子的速度为v，则这种粒子到达模拟地球的最短时间是多少？
（3）试求速度为2v的粒子到达地球粒子数与进入地磁场粒子数总数比值η．（结果用反三角函数表示．例：sinθ=k，则θ=arcsink，θ为弧度．）

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出半径，结合半径公式求出粒子的比荷．
（2）粒子以速度v进入磁场，根据半径公式求出粒子在磁场中的半径，结合几何关系，运用周期公式求出粒子在磁场中运动的最短时间．
（3）沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此θ角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球．通过几何关系求出速度为2v的粒子到达地球粒子数与进入地磁场粒子数总数比值η．

解答 解：（1）其轨迹如图1所示（和地球相切）
设该粒子轨迹半径为r，则根据几何关系：（r+R）²=r²+（3R）²    ①
解得r=4R    ②
又$q•（2v）B=m\frac{（2v）^{2}}{r}$    ③
由②③得，$\frac{q}{m}=\frac{v}{2BR}$   ④
（2）速度为v的粒子进入磁场有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r′}$   ⑤
由④⑤得，r′=2R   ⑥
若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，故从A斜向上射入，在A交点E到达地球的弦长最短时间最短．
AE=AD=DE=2R，
故∠ADE=60°，
得：${t}_{min}=\frac{60°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πR}{3v}$．
（3）沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此θ角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球．
作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图3．
AF=4R，AO=OF=3R，得sinθ=$\frac{AG}{AO}=\frac{2}{3}$，
故η=$\frac{θ}{π}=\frac{arcsin\frac{2}{3}}{π}$．
答：（1）此粒子的比荷为$\frac{v}{2BR}$；
（2）这种粒子到达模拟地球的最短时间是$\frac{2πR}{3v}$；
（3）速度为2v的粒子到达地球粒子数与进入地磁场粒子数总数比值η为$\frac{arcsin\frac{2}{3}}{π}$．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，掌握粒子在磁场中半径公式和周期公式，关键作出轨迹图，结合临界情况，运用几何关系进行求解，难度较大．