Question

8．如图甲所示，单匝矩形闭合导线框abcd处在足够大的匀强磁场中，线框电阻为R，ab、ad的边长分别为L₁、L₂；磁感应强度B的大小随时间变化的规律如图乙所示．
（1）求0-t₀时间内，回路中电流I₁的大小和方向；
（2）求$\frac{{t}_{0}}{2}$时刻ab边受到的安培力大小F；
（3）在t₀时刻后线框绕cd边以角速度ω匀速转动，计算线框中感应电流的有效值I₂．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，与楞次定律，即可求解；
（2）根据安培力表达式，结合$\frac{{t}_{0}}{2}$时刻的磁场的大小，即可求解；
（3）根据感应电动势的最大值，求出有效值．

解答 解：（1）在0到t₀时间内，回路中的感应电动势：E₁=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△BS}{△t}$；
由图乙可知，$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$；
由闭合电路欧姆定律，则有：电流大小I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$；
解得：I₁=$\frac{{L}_{1}{L}_{2}{B}_{0}}{R{t}_{0}}$；
由楞次定律，可知，在0到t₀时间内，回路中的电流方向逆时针；

（2）安培力的大小F=BI₁L₁；$\frac{{t}_{0}}{2}$时刻的磁场为B=$\frac{{B}_{0}}{2}$；
那么安培力的大小为，F=$\frac{{{L}_{1}}^{2}{L}_{2}{B}_{0}^{2}}{2R{t}_{0}}$；

（3）线框匀速转动时，产生正弦交流电，感应电动势的最大值E_2m=B₀L₁L₂ω；
感应电动势的有效值E₂=$\frac{{E}_{2m}}{\sqrt{2}}$；
感应电流的有效值I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$=$\frac{\sqrt{2}{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}ω}{2R}$；
答：（1）0-t₀时间内，回路中电流I₁的大小$\frac{{L}_{1}{L}_{2}{B}_{0}}{R{t}_{0}}$和方向逆时针；
（2）$\frac{{t}_{0}}{2}$时刻ab边受到的安培力大小$\frac{{{L}_{1}}^{2}{L}_{2}{B}_{0}^{2}}{2R{t}_{0}}$；
（3）在t₀时刻后线框绕cd边以角速度ω匀速转动，线框中感应电流的有效值$\frac{\sqrt{2}{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}ω}{2R}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律与楞次定律的应用，注意最大值、有效值及平均值的求法，注意电量综合表达式．