Question

2．探月工程三期飞行试验器于2014年10月24日2时在中国西昌卫星发射中心发射升空，飞行试验器飞抵距月球6万千米附近进入月球引力影响区，开始月球近旁转向飞行，最终进入距月球表面h的圆形工作轨道．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，试求：
（1）飞行试验器绕月球运行的周期
（2）飞行试验器在工作轨道上的绕行速度
（3）月球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）对于月球表面的物体，重力等于万有引力，根据万有引力定律列式；对于高度为h的轨道上的飞行器，根据万有引力等于向心力列式；最后联立求解即可；
（2）根据线速度的定义列式求解线速度；
（3）对于月球表面的物体，重力等于万有引力，据此列式；再根据密度定义公式列式求解月球的平均密度．

解答 解：（1）对于月球表面的物体，重力等于万有引力，故：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$；
对于飞行器：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}（R+h）$；
联立解得：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）飞行试验器在工作轨道上的绕行速度：v=$\frac{2πr}{T}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（3）对于月球表面的物体，重力等于万有引力，故：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$；
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
月球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
答：（1）飞行试验器绕月球运行的周期为2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（3）月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$．

点评 万有引力提供圆周运动向心力和万有引力与星球表面重力相等是解决此类问题的主要入手点，关键是掌握相关公式及公式变换．