Question

13．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，宇宙飞船中可供使用的测量仪器有：
A．精确秒表一个
B．激光测距仪（可以精确测量距离）
C．弹灵敏电流表一个
D．天平一台（附砝码）
已知宇航员在绕行时和着陆后各做了一次测量，依据测量数据，可求出该星球的半径R及星球的质量M．（已知引力常量为G）
（1）宇航员在绕行时选取A（填写器材对应的字母），测量出飞船绕行N圈所用时间t，从而计算出飞船绕行该行星周期T为$\frac{t}{N}$；
（2）宇航员在着陆后选取AB（填写器材对应的字母），测量出自由落体的高度h与时间t′．从而计算出该星球的表面的重力加速度g，其表达式为$g=\frac{2h}{t{′}_{\;}^{2}}$；
（3）宇航员利用以上数据可估算出行星的半径R=$\frac{h{t}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}t{′}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}}$，质量M=$\frac{{h}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{4}}{2{π}_{\;}^{4}Gt{′}_{\;}^{6}{N}_{\;}^{4}}$．（须用原始测量数据表示结果） 难度：0.52真题：2组卷：2查看解析下载试题篮．

Answer 1

分析 要测量行星的半径和质量，根据重力等于万有引力和万有引力等于向心力，列式求解会发现需要测量出行星表面的重力加速度和行星表面卫星的公转周期，从而需要选择相应器材．

解答 解：（1）宇航员在绕行时选取精确秒表一个测量出飞船绕行N圈所用时间t，从而计算出飞船绕行该行星周期T为$\frac{t}{N}$
（2）宇航员在着陆后选取精确秒表一个、激光测距仪，测量出自由落体的高度与时间t′从而计算出星球表面的重力加速度，根据$h=\frac{1}{2}gt{′}_{\;}^{2}$得$g=\frac{2h}{t{′}_{\;}^{2}}$
（3）根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$及$GM=g{R}_{\;}^{2}$
得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g}}$
将（1）（2）问的结果代入上式，化简得$R=\frac{h{t}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}t{′}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}}$
星球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{{h}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{4}}{2{π}_{\;}^{4}Gt{′}_{\;}^{6}{N}_{\;}^{4}}$
故答案为：（1）A     $\frac{t}{N}$     （2）AB    自由落体的高度h与时间t′表面的重力加速度g           $g=\frac{2h}{t{′}_{\;}^{2}}$
（3）$\frac{h{t}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}t{′}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}}$         $\frac{{h}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{4}}{2{π}_{\;}^{4}Gt{′}_{\;}^{6}{N}_{\;}^{4}}$

点评 本题关键先要弄清实验原理；万有引力等于重力，及万有引力等于向心力，再根据实验原理选择器材，计算结果．