Question

17．一宇航员在半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验，用不可伸长的长为l轻绳栓一质量为m的小球，上端固定在O点，如图所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点恰好能在竖直面内做圆周运动，已知最高点速度为v₀．引力常量为G，忽略各种阻力，求：
（1）该行星的平均密度ρ．
（2）该行星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）小球在最高点时重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式可以求解星球表面的重力加速度；最后根据密度的定义求解密度；
（2）行星的第一宇宙速度是星球表面卫星的环绕速度，根据重力等于万有引力列式求解即可．

解答 解：（1）设行星表面的重力加速度为g，对小球最高点，有：$mg=m\frac{{{v_0}^2}}{l}$
解得：g=$\frac{{{v_0}^2}}{l}$
对行星表面的物体m，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
故行星质量：M=$\frac{{{R^2}{v_0}^2}}{Gl}$
由于M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³ρ，故行星的密度：
ρ=$\frac{{3{v_0}^2}}{4πGlR}$
（2）对处于行星表面附近做匀速圆周运动的卫星m，由牛顿第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
故第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{{R{v_0}^2}}{l}}$；
答：（1）该行星的平均密度ρ为$\frac{{3{v_0}^2}}{4πGlR}$．
（2）该行星的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{{R{v_0}^2}}{l}}$．

点评 对于卫星类问题，关键是明确卫星的动力学原理，根据牛顿第二定律列式求解；同时要记住星球表面重力等于万有引力．