Question

15．如图所示，绝缘水平面内固定有一间距d=1m、电阻不计的足够长光滑矩形导轨AKDC，导轨两端接有阻值分别为R₁=3Ω和R₂=6Ω的定值电阻，矩形区域AKFE、NMCD范围内均有方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，一质量m=0.2kg、电阻r=1Ω的导体棒ab垂直放在导轨上AK与EF之间某处，在方向水平向右、大小F₀=2N的恒力作用下由静止开始运动，刚要到达EF时导体棒ab的速度大小v₁=3m/s，导体棒ab进入磁场Ⅱ后，导体棒ab中通过的电流始终保持不变，导体棒ab在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，空气阻力不计．
（1）求导体棒ab刚要到达EF时的加速度大小a₁；
（2）求两磁场边界EF和MN之间的距离L；
（3）若在导体棒ab刚要到达MN时将恒力F₀撤去，求导体棒ab能继续滑行的距离s以及滑行该距离s的过程中整个回路产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）由左手定则可判定安培力方向，再由切割感应电动势，及牛顿第二定律与闭合电路欧姆定律，即可求解；
（2）利用平衡条件，求解导体棒ab进入磁场Ⅱ的速度，再依据牛顿第二定律，及运动学公式，即可求解两磁场边界EF和MN之间的距离；
（3）运用牛顿第二定律和闭合电路欧姆定律，结合运动学公式，及微积分求和，与能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）导体棒ab刚要到达EF时，在磁场中切割磁感线产生的感应电动势：E₁=Bdv₁
经分析可知，此时导体棒ab所受安培力的方向水平向左，
由牛顿第二定律，则有：F₀-BI₁d=ma₁
根据闭合电路的欧姆定律，则有：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
上式中，R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=2Ω
解得：a₁=5m/s²；
（2）导体棒ab进入磁场Ⅱ后，受到的安培力与F₀平衡，做匀速直线运动，
导体棒ab中通过的电流I₂，保持不变，则有：F₀=BI₂d，其中，I₂=$\frac{Bd{v}_{2}}{R+r}$
设导体棒ab从EF运动到MN的过程中的加速度大小为a₂，
根据牛顿第二定律，则有：F₀=ma₂；
导体棒ab在EF，MN之间做匀加速直线运动，则有：${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{2}L$
解得：L=1.35m
（3）对撤去F₀后，导体棒ab继续滑行的过程中，
根据牛顿第二定律和闭合电路欧姆定律，则有：BId=ma；
而I=$\frac{Bdv}{R+r}$
若△t→0，则有：a=$\frac{△v}{△t}$；
由以上三式可得：$\frac{{B}^{2}{d}^{2}}{R+r}v△t$=m△v
则有：$\frac{{B}^{2}{d}^{2}}{R+r}$∑v△t=m∑△v，即$\frac{{B}^{2}{d}^{2}}{R+r}$s=m（v₂-0）
解得：s=3.6m；
根据能量守恒定律，则有：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
因v₂=6m/s，
代入数据，解得：Q=3.6J
答：（1）导体棒ab刚要到达EF时的加速度大小5m/s²；
（2）两磁场边界EF和MN之间的距离1.35m；
（3）若在导体棒ab刚要到达MN时将恒力F₀撤去，导体棒ab能继续滑行的距离s以及滑行该距离s的过程中整个回路产生的焦耳热3.6J．

点评 考查左手定则的内容，掌握牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律与能量守恒定律的应用，理解微积分求和的方法，注意利用平衡条件求解导体棒ab进入磁场Ⅱ的速度．