Question

14．某次被测试的汽车质量为m=2×10³kg，发动机的额定功率P=100kW，平直路面上所能提供的最大启动加速度和最大制动加速度大小均为a=4m/s²，行驶时阻力为车重的k=0.1倍．设汽车在平直公路上从静止启动，通过足够长的距离L=2km，到达终点时必须减速至停止．求该车通过这一距离所需要的最短的时间．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出匀加速直线运动的牵引力，结合P=Fv求出匀加速直线运动的末速度，根据运动学公式求出匀加速运动的时间和位移，根据P=fv_m求出汽车的最大速度，根据速度时间公式和速度位移公式求出匀减速直线运动的位移和时间，从而得出以恒定功率行驶的位移，运用动能定理求出恒定功率行驶的时间，从而得出这一过程的最短时间．

解答 解：根据牛顿第二定律得，F-kmg=ma，
解得F=kmg+ma，
最快加速后换挡速度${v}_{1}=\frac{P}{kmg+ma}=\frac{100000}{0.1×2×1{0}^{4}+2×1{0}^{3}×4}$m/s=10m/s，
加速时间${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{a}=\frac{10}{4}s=2.5s$，加速位移${L}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{100}{2×4}m=12.5m$，
满功率运行最大速度${v}_{m}=\frac{P}{f}=\frac{P}{kmg}=\frac{100000}{0.1×2×1{0}^{4}}=50m/s$，
减速时间${t}_{3}=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{50}{4}s=12.5s$，减速位移${L}_{3}=\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2a}=\frac{2500}{8}m=312.5m$，
满功率运行位移L₂=L-L₁-L₃=2000-12.5-312.5m=1675m．
根据动能定理得，$P{t}_{2}-kmg{L}_{2}=\frac{1}{2}m（{{v}_{m}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}）$，
代入数据解得满功率运行时间t₂=57.5s，
总时间t=t₁+t₂+t₃=2.5+57.5+12.5s=72.5s．
答：该车通过这一距离所需要的最短的时间为72.5s．

点评 本题考查了机车启动问题，理清整个过程中的运动规律是解决本题的关键，知道牵引力等于阻力时速度最大，注意整个过程中的最大速度与匀加速直线运动的末速度不等．