Question

15．在真空中，半径r=2.5×10^-2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B=0.2T．一个带正电的粒子以v₀=1.0×10⁶m/s的初速度，从磁场边界上的a点射入磁场，ab为圆形磁场的直径，v₀与ab的夹角为θ．已知该粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，不计粒子重力．求
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，θ应为多大；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 根据洛伦兹力提供向心力求粒子圆周运动的轨道半径；在半径不变时，弦长越长对应圆心角越大，对应时间越长；当弦长等于磁场区域的直径时，对应圆心角和时间最大．

解答 解：（1）由洛伦兹力提供向心力$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$得：
  $R=\frac{mv}{qB}=\frac{1×1{0}^{6}}{1{0}^{8}×0.2}m=0.05m$；
   （2）当轨迹弦长等于磁场区域的直径时，对应圆心角最大，如图

由几何关系，最大偏转角为2θ，
此时有：$sinθ=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$，
故有：θ=30°；
（3）由周期公式$T=\frac{2π}{2θ}t$知，θ=30°=时t最大，
又由$T=\frac{2πm}{qB}$得运动的时间为：
$t=\frac{πm}{3qB}=\frac{3.14}{3×1{0}^{8}×0.02}s=5.2×1{0}^{-9}s$；
答：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为0.05m；
   （2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，θ应为30°；
   （3）粒子在磁场中运动的最长时间为5.2×10^-9s．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，难点在于最大偏角对应的轨迹，由半径不变所推导出的弦长与圆心角的关系，合理使用作图法可以极大降低难度．