Question

3．如图所示，AB为半径R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M=3kg，车长L=2.06m．现有一质量m=1kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3，当车运行了1.5s时，车被地面装置锁定．（g=10m/s²）试求：
（1）滑块运动到B点时速度的大小；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）整个过程中滑块由于摩擦在车表面留下的痕迹长度．

Answer 1

分析 （1）滑块从光滑圆弧轨道过程，只有重力做功，由机械能守恒定律求出滑块到B端的速度大小．
（2）当滑块滑上小车后，滑块向左做匀减速运动，小车向左做匀加速运动，根据牛顿第二定律分别求出滑块和小车的加速度，由运动式求出两者速度相同经过的时间，确定两者的运动情况．再求解车右端距轨道B端的距离．
（3）由位移公式求求出滑块相对于小车的位移△x，对小滑块在车被锁定后相对车滑动过程，运用动能定理求两者相对位移，从而得到滑块由于摩擦在车表面留下的痕迹长度．

解答 解：（1）滑块从光滑圆弧轨道过程，根据机械能守恒定律得
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=4m/s                
（2）当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律：
对滑块有：-μmg=ma₁；                          
对小车有：μmg=Ma₂；                    
设经时间t两者达到共同速度，则有：v+a₁t=a₂t       
解得 t=1 s                                     
由于1s＜1.5s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：
  v′=a₂t=1m/s                                           
两者以共同速度运动时间为 t′=0.5s．                         
故车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：S=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}+v′t′$=1m       
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离：
△S=$\frac{v+v′}{2}t$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=2m                   
对小滑块在车被锁定后相对车滑动过程，假设一直减速设末速度为v′，由动能定理得：
-μmgx=0-$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$         
解得 x=$\frac{1}{6}$m＞L-△S=0.06m
故痕迹长即为板长：L=2.06m                             
答：
（1）滑块运动到B点时速度的大小是4m/s；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离是1m；
（3）整个过程中滑块由于摩擦在车表面留下的痕迹长度是2.06m．

点评 本题的关键之处在于分析滑块和小车速度相同所经历的时间，与1.5s进行比较来分析两者的运动情况．本题也可以根据动量守恒定律和能量守恒定律结合解答．