Question

15．已知行星的下列数据：引力常为G．
（1）行星表面的重力加速度g；
（2）行星半径R；
（3）卫星A与行星两球心间的距离r；
（4）行星的第一宇宙速度v₁；
（5）行星附近的卫星绕行星运动的周期T₁；
（6）卫星A绕行星运动的周期T₂；
（7）卫星A绕行星运动的速度v₂；
（8）卫星A绕行星运动的角速度ω．
试选取适当的数据估算行星的质量．（要求至少写出三种方法）

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，以及重力等于万有引力，分别列式，可得到行星的质量．

解答 解：设行星的质量为M．
第一种方法：在行星表面，由重力等于万有引力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$  
第二种方法：对于行星附近的卫星，根据万有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得：M=$\frac{R{v}_{1}^{2}}{G}$
第三种方法：对卫星A，根据万有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：M=$\frac{{ω}^{2}{r}^{3}}{G}$
答：行星的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$，或表示为$\frac{R{v}_{1}^{2}}{G}$和$\frac{{ω}^{2}{r}^{3}}{G}$．

点评 本题是一题多解问题，要有发散型思维能力，关键要把握两个基本思路：万有引力等于向心力，以及重力等于万有引力．