Question

12．如图所示，半径为R的光滑的四分之三圆弧轨道竖直放置，A、C两点分别为轨道的最低点和最高点，一质量为m的小环套在轨道上，小环以水平向右的初速度从A出发经C点后，恰可撞击到D点．求：
（1）小环到达C点瞬间轨道对环的弹力的大小和方向；
（2）设小环撞击到D点后又能套在圆轨道上，那么相对A点能上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）小环从C到D做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出小环通过C点时的速度．在C点，由牛顿第二定律求轨道对环的弹力．
（2）小环撞击D点后水平方向的分速度突然减至零，只剩竖直分速度，由平抛运动的规律求出竖直分速度，再由机械能守恒定律求小环相对A点能上升的最大高度．

解答 解：（1）小环从C到D做平抛运动，由平抛运动的规律有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C点，以小环为研究对象，设轨道对小环的弹力方向竖直向上，大小为F．根据牛顿第二定律得：
mg-F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1}{2}$mg
由于F＞0，所以假设正确，即轨道对环的弹力的方向竖直向上．
（2）小环撞击D点后水平方向的分速度突然减至零，只剩竖直分速度，竖直分速度为：v_y=gt=$\sqrt{2gR}$
设小环相对A点能上升的最大高度为h．取A点为参考点，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$+mgR=mgh
解得：h=2R
答：（1）小环到达C点瞬间轨道对环的弹力的大小是$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向上；
（2）设小环撞击到D点后又能套在圆轨道上，那么相对A点能上升的最大高度是2R．

点评 本题考查了平抛运动、向心力与机械能守恒定律的综合，要知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，明确圆周运动向心力的来源：指向合外力．关键要判断出小环撞击D点时速度的变化．