Question

5．修理工人在没有专用设备的情况下，要将一质量m的金属环A紧密套在一个质量是M=4m、长度为L的圆柱形工件B的中间位置，已知A环与圆柱B间滑动摩擦力f=6mg．
（1）让A环水平套在B的顶部，然后将B升至H₀高度放手，B落地后立刻静止不动，A沿B下滑一段，然后再将B升至H₀高度放手，重复上述过程，求第一次A环相对B移动距离s₀以及A环滑到B中间位置需要将B抬升的次数n；
（2）让A环水平套在B的顶部，然后将B升至H₀高度放手，设地面是弹性钢板，B落地后立刻原速度大小反弹，求第一次反弹后B上升最大高度h；
（3）在（2）的情况下B每次与钢板碰撞都是直立的，求一次将B升至H₀高度经过若干次反弹后A能沿B下滑的距离s．

Answer 1

分析 （1）对A第一次下落到相对于B静止的过程，运用动能定理求出第一次A环相对B移动距离s₀．根据ns₀=$\frac{L}{2}$求将B抬升的次数n；
（2）先根据运动学公式得到B第一次落地前瞬间的速度，从而得到反弹后B的速度．由牛顿第二定律求得A和B的加速度，由速度公式求得它们达到相同速度的时间和共同速度．共速后AB一起上升，由速度位移公式求出它们一起上升的最大高度，从而求得第一次反弹后B上升最大高度h；
（3）对AB，由功能关系列式，可求得A能沿B下滑的距离s．

解答 解：（1）对A来说，每次相对B下滑s₀，由动能定理得
  mg（H₀+s₀）-fs₀=0-0
得：s₀=$\frac{{H}_{0}}{5}$
又 ns₀=$\frac{L}{2}$ 得：n=$\frac{5L}{2{H}_{0}}$
（2）AB下落H₀后速度：v₀=$\sqrt{2g{H}_{0}}$
B以v₀反弹A、B加速度大小a₁、a₂．
根据牛顿第二定律得：
对A有f-mg=ma₁，a₁=5g，方向向上
对B有 f+Mg=Ma₂．a₂=2.5g，方向向下
取向上为正，设经过t时间AB达共同速度v，则
对A有 v=-v₀+a₁t
对B有 v=v₀-a₂t
代入解得：v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，t=$\frac{4{v}_{0}}{15g}$
B上升h₁，则 h₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{8{v}_{0}^{2}}{45g}$
此后AB一起上升h₂，则h₂=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18g}$
所以B上升的最大高度 h=h₁+h₂=$\frac{7{v}_{0}^{2}}{30g}$
（3）对AB，由功能关系有
-fs=△E
即-fs=-MgH₀-mg（H₀+s）
代入解得：s=H₀
答：
（1）第一次A环相对B移动距离s₀为$\frac{{H}_{0}}{5}$，A环滑到B中间位置需要将B抬升的次数n为$\frac{5L}{2{H}_{0}}$；
（2）第一次反弹后B上升最大高度h是$\frac{7{v}_{0}^{2}}{30g}$；
（3）一次将B升至H₀高度经过若干次反弹后A能沿B下滑的距离s是H₀．

点评 解决本题的关键是正确分析A、B的运动过程，抓住过程的周期性，找出规律．同时要找到隐含的临界状态，如速度相同．要知道滑动摩擦力对系统做的功与相对位移有关．