Question

19．2014年3月8日马航客机MH370失联，多国卫星在搜寻中发挥了重要作用．如图所示为某两颗搜寻卫星的运行示意图，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，己知地球半径为R，地球自转周期为T．地球表面的重力加速度为q，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行角速度ω；
（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

Answer 1

分析 研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出角速度．卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于2π时，卫星再一次相距最近．

解答 解：（1）由万有引力定律和向心力公式得：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}（R+h）$
地球表面物体重力等于万有引力
$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$，
联立解得$ω=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{（R+h）_{\;}^{3}}}$
（2）由${ω}_{0}^{\;}=\frac{2π}{T}$，又由题意得$（ω-{ω}_{0}^{\;}）t=2π$
联立解得：$t=\frac{2π}{\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{（R+h）_{\;}^{3}}}-\frac{2π}{T}}$
答：（1）卫星B的运行角速度ω为$\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{（R+h）_{\;}^{3}}}$；
（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过时间$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{（R+h）_{\;}^{3}}}-\frac{2π}{T}}$，它们再一次相距最近．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．