Question

12．如图，质量均为m的两个小球A、B固定在弯成直角的绝缘轻杆两端，AB=OB=l，可绕过O点且与纸面垂直的水平轴无摩擦地在竖直平面内转动，空气阻力不计．A球带正电，B球带负电，电量均为q，整个系统处在竖直向下的匀强电场中，场强E=$\frac{mg}{2q}$．开始时，AB水平，以图中AB位置为重力势能和电势能的零点，问：
（1）为使系统在图示位置平衡，需在A点施加一力F，则F至少多大？方向如何？
（2）若撤去F，OB转过45°角时，A球角速度多大？此时系统电势能总和是多大？
（3）若撤去F，OB转过多大角度时，系统机械能最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）当F垂直于OA时力最小，根据力矩平衡求出最小拉力的大小和方向．
（2）对A、B组成的系统运用动能定理，抓住A、B的角速度相等，得出A、B线速度的关系，联立求出A球的角速度．根据电场力做功求出系统电势能的总和．
（3）当电势能最小时，间最大，结合能量守恒求出机械能的最大值．

解答 解：（1）当F垂直于OA时力最小．                                    
根据力矩平衡：mgl+qEl=F_min$\sqrt{2}$l   已知qE=$\frac{1}{2}$mg             
可以求出：F_min=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$mg．方向与AB成45度角斜向上．                                   
（2）对系统列动能定理，（mg+qE）l+（mg-qE）l（1-cos45°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
其中，${v}_{A}=\sqrt{2}ωl$，v_B=ωl，可得：ω=$\sqrt{\frac{（8-\sqrt{2}）g}{6l}}$．
此时，电场力对A球做正功，W_A=qEl，电场力对B球做负功，W_B=-qEl（1-cos45°），
则电场力对系统做功W=qElcos45°，
则系统电势能ε=-$\frac{\sqrt{2}}{2}qEl$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$mgl．
（3）电势能最小时，机械能最大，由2的结论，系统电势能总和为ε=-qElcosθ
即当θ=90°，电势能最小ε_min=-q E l      
初始位置时，电势能和机械能均为零，则此时，E_机max=qEl=$\frac{1}{2}$mgl．
答：（1）F至少为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$mg．方向与AB成45度角斜向上．
（2）A球的角速度为$\sqrt{\frac{（8-\sqrt{2}）g}{6l}}$，系统电势能的总和为$-\frac{\sqrt{2}}{4}$mgl．
（3）OB转过90°时，系统机械能最大，最大机械能为$\frac{1}{2}mgl$．

点评 本题考查了力矩平衡、系统动能定理、能量守恒的总和运用，知道电场力做功等于电势能的减小量．知道当电势能最小时，机械能最大．