Question

2．如图所示，间距为L=1m的两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻R．导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B=1T．现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨底端的b棒恰好能静止．当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，a棒滑离导轨底端前已达到稳定速度．已知a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R=1Ω，导轨电阻不计．a棒、b棒的质量分别为m_a=0.4kg、m_b=0.2kg，重力加速度为g=10m/s²．导轨底端与边界PQ的距离为d=1m．求：
（1）a棒在磁场中沿导轨向上匀速运动的速度大小v；
（2）a棒离开导轨底端时的速度大小v₂；
（3）a棒在磁场中下滑的过程中，电阻R上产生的焦耳热大小．

Answer 1

分析 （1）a向上运动的过程中b处于静止，由共点力平衡即可求出电路中的电流，然后结合电路的结构以及电动势的表达式即可求出a的速度；
（2）由安培力公式求出安培力，应用牛顿第二定律与平衡条件可以求出a向下匀速运动时的速度．
（3）应用能量守恒定律求出产生的热量．

解答 解：（1）a棒向上匀速运动时，b棒静止，对b棒有：m_bgsinθ=BI_bL
代入数据得：I_b=1A
a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R=1Ω，流过a的电流是流过b的电流与流过R的电流的和，所以：I_a=2I_b=2A
电动势：E=${I}_{a}（R+\frac{R•R}{R+R}）$
代入数据得：E=3V
又：E=BLv
得：v=$\frac{E}{IL}=\frac{3}{1×1}=3$m/s
（2）a棒往上运动离开PQ后，b棒滑离导轨，导轨中只有a棒与电阻R形成回路．a棒下滑离开导轨底端前达到稳定速度为v₂
对a棒有：m_agsinθ=BIL
又：$I=\frac{{E}_{2}}{2R}$，E₂=BLv₂
解得：${v}_{2}=\frac{{m}_{a}gsinθ•2R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入数据得：v₂=4m/s
（3）a棒往下滑刚进入磁场时的速度与向上离开PQ时的速度大小相等，即：
v₁=v=3m/s，
a棒在磁场中下滑过程，根据能量守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}+{m}_{a}gdsinθ=\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{2}^{2}+Q$
代入数据解得：Q=0.6J
R上产生的焦耳热与棒上产生的焦耳热是相等的，${Q}_{R}=\frac{1}{2}Q$=0.3J
答：（1）a棒在磁场中沿导轨向上匀速运动的速度大小是3m/s；
（2）a棒离开导轨底端时的速度大小v₂是4m/s；
（3）a棒在磁场中下滑的过程中，电阻R上产生的焦耳热大小是0.3J．

点评 本题是电磁感应与力学相结合的综合题，分析清楚导体棒的运动过程是解题的关键，应用安培力公式、法拉第电磁感应定律、平衡条件、能量守恒定律可以解题．