Question

11．太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0℃到40℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（　　）

• A． 该行星的密度是地球密度的0.56倍
• B． 该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的$\sqrt{\frac{13}{365}}$倍
• C． 该行星的第一宇宙速度和地球上的第一宇宙速度相同
• D． 如果人到了该行星，其体重是地球上的2.67倍

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列出等式表示出所要求解的第一宇宙速度和该行星与“Gliese581”的距离．根据万有引力近似等于重力，求出该行星表面与地球表面重力加速度之比，即可求出体重关系；根据密度公式求解恒星“Glicsc581”的密度与地球密度的关系．

解答 解：
A、由于恒星“Glicsc581”的半径未知，不能确定其密度与地球密度的关系．故A错误；
B、行星绕恒星运转时，根据万有引力提供向心力，列出等式G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，得行星与恒星的距离 r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
行星“G1-58lc”公转周期为13个地球日．
将已知条件代入解得：行星“G1-58lc”的轨道半径与地球轨道半径r_行G：r_日地=$\root{3}{\frac{0.31×1{3}^{2}}{36{5}^{2}}}$．故B错误；
C、当卫星绕任一行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，M是行星的质量，R是行星的半径．
设地球的质量为M，半径为R．则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为v_行：v_地=$\sqrt{\frac{G•6M}{1.5R}}：\sqrt{\frac{GM}{R}}$=2：1，故C错误；
D、由万有引力近似等于重力，得G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
得行星表面的重力加速度为 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，则得该行星表面与地球表面重力加速度之比为g_行：g_地=$\frac{6GM}{（1.5R）^{2}}：\frac{GM}{{R}^{2}}$=8：3
所以如果人到了该行星，其体重是地球上的$\frac{8}{3}$=2.67倍，故D正确．
故选：D

点评 此题中行星绕恒星、卫星绕行星的类型相似，关键要建立模型，根据万有引力提供向心力，万有引力近似等于重力进行求解．