Question

20．如图甲，两根间距为L的金属轨道固定于水平面上，不计导轨电阻．一根质量为m、长为L、电阻为R的金属棒放于导轨上，与导轨闯的动摩擦因数为μ，导轨左端接有阻值为2R的电阻，在电阻两端接有电压传感器并与计算机相连，不计传感器对电路的影响．空间有，I段方向竖直向下、宽度为l₁、间距为l₂的匀强磁场，磁感应强度为B，且满足l₁＞l₂．金属棒最初位于OO′处，与第一段磁场相距2l₁．

（1）若金属棒具有向右初速度v₀，为使其保持v₀一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一水平向右r拉力，求金属棒进入磁场前拉力F₁的大小和进入磁场后拉力F₂的大小
（2）在（1）的情况下，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力做功；
（3）若金属棒初速度为零，现对棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿过各段磁场，计算机显示电压随时间做周期性变化如图乙．求从金属棒进入第一段磁场开始到金属棒刚离开第n段磁场的整个过程中导轨左端电阻上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）金属棒在进入磁场前，不受安培力作用，匀速运动时，拉力与摩擦力平衡；在进入磁场后，金属棒切割磁感线，产生感应电流，匀速运动时，拉力与摩擦力、安培力平衡．根据平衡条件和电磁感应知识，可求出拉力．
（2）对金属棒从OO′开始运动到刚离开第 n 段磁场过程中，运用动能定理可求拉力做功．
（3）进入磁场前，拉力和摩擦力做功，根据动能定理，求出金属棒进入磁场时的速度．进入在磁场时，拉力、摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律求出热量．

解答 解：（1）金属棒匀速运动，则
进入磁场前，有  F₁=μmg ①
进入磁场后，有  F₂=μmg+F_安 ②
金属棒所受的安培力 ${F_安}=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{3R}$  ③
解得 ${F_2}=μmg+\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{3R}$
（2）对金属棒从OO′开始运动到刚离开第 n 段磁场过程中，据动能定理得
 $W-μmg[{（{n+2}）{l_1}+（{n-1}）{l_2}}]-\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{3R}•n{l_1}=0$ ④
解得     $W=μmg[{（{n+2}）{l_1}+（{n-1}）{l_2}}]+\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{3R}•n{l_1}$
（3）由乙图可知，从金属棒刚进第一个磁场到刚要进第二个磁场时速度相同，据动能定理得
 （F-μmg）（l₁+l₂）-W_安=0  ⑤
得 W_安=（F-μmg）（l₁+l₂）
整个过程中电阻2R上产生的总热量为  $Q=n•\frac{2R}{3R}•{W_安}$  ⑥
解得   $Q=n•\frac{2}{3}（{F-μmg}）（{{l_1}+{l_2}}）$
答：
（1）金属棒进入磁场前拉力F₁的大小为μmg，进入磁场后拉力F₂的大小为μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$；
（2）金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力所做的功为μmg[（n+2）l₁+（n-1）l₂]+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}•n{l}_{1}$；
（3）整个过程中导轨左端电阻上产生的热量为$\frac{2}{3}$n（F-μmg）（l₁+l₂）．

点评 本题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件．