Question

9．如图为某研究性学习小组设计的节能电梯装置示意图，将质量均为M的电梯甲、乙与水平匀强磁场垂直的平面简化为宽、高均为l且电阻为R的正方形金属线框．磁场区域的高亦为l，电梯乙的上边缘cd到磁场的下边缘高变为h．不计滑轮和绳的质量以及一切磨擦．总质量为m的若干人走进电梯甲后，由电梯甲、乙和人组成的系统从静止开始运动．当cd边刚进入磁场切割磁感线产生感应电流时，立即利用电脑自动控制，使电梯通过磁场的过程线框cdef中的电流保持不变，且线框ef边运动到磁场的上边缘时的速度恰好为零．重力加速度为g．
（1）求电梯乙的cd边刚进入磁场时的速度大小v．
（2）求该匀强磁场的磁感应强度大小B．
（3）该过程中系统与外界的能量如何转化，转化了多少？

Answer 1

分析 （1）对系统，利用机械能守恒定律求出cd边刚进入磁场时的速度大小v．
（2）由E=Blv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIl求出cd边进入磁场时受到的安培力，由动能定理求磁感应强度B．
（3）分析系统受到的力，判断能量是如何转化的．

解答 解：（1）进入磁场前，对甲、乙和人组成的系统，由机械能守恒定律得：
（M+m）gh-Mgh=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$+$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
得 v=$\sqrt{\frac{2mgh}{2M+m}}$
（2）由E=Blv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIl得：
cd边进入磁场时受到的安培力 F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$
从cd边刚进入磁场到ef边运动到磁场的上边缘的过程，对系统，由动能定理得：
[（M+m）g-Mg]•2l-F•2l=0-$\frac{1}{2}M{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
联立解得 B=$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{mg（2l+h）R}{2l}}\sqrt{\frac{2M+m}{2mgh}}$
（3）该过程中系统的机械能减少，转化为磁场能．
转化的量为△E=F•2l=mg（2l+h）
答：（1）电梯乙的cd边刚进入磁场时的速度大小v是$\sqrt{\frac{2mgh}{2M+m}}$．
（2）该匀强磁场的磁感应强度大小B是$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{mg（2l+h）R}{2l}}\sqrt{\frac{2M+m}{2mgh}}$．
（3）系统的机械能减少，转化为磁场能，转化的量为mg（2l+h）．

点评 分析系统的运动情况、受力情况和能量转化情况是解答关键，对于系统，运用能量守恒定律和动能定理研究，也可以运用隔离法研究．