Question

4．2013年12月2日，我国探月工程“嫦娥三号”成功发射．“嫦娥三号”卫星实现了软着陆、无人探测及月夜生存三大创新．假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，总质量为m₁．登陆舱随后脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂．下列说法正确的是（　　）

• A． 月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陆舱在半径为r₂轨道上运动的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{r_2^3}{r_1^3}}$
• C． 登陆舱在半径为r₁与半径为r₂的轨道上运动的线速度之比为$\sqrt{\frac{{{m_1}{r_2}}}{{{m_2}{r_1}}}}$
• D． 月球表面的重力加速度g_月=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根据万有引力提供向心力G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r₁，化简可得月球的质量M；
2、根据开普勒第三定律$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{\frac{3}{2}}$，化简可得登陆舱在半径为r₂轨道上的周期T₂；
3、根据万有引力提供向心力G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，因此速度之比等于二次方根下半径的反比；
4、根据牛顿第二定律m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=m₁a₁，化简可得向心加速度，可以判断与月球表面的重力加速度的关系．

解答 解：A、根据G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r₁可得，月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，A项错误；
B、根据开普勒第三定律$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}={（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）}^{\frac{3}{2}}$可得，T₂=$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$T₁，B项正确；
C、根据G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，同理可得，v₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}$，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，C项错误；
D、根据m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=m₁a₁可得，载着登陆舱的探测飞船的加速度${a}_{1}=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$，该加速度不等于星球表面的重力加速度，D项错误．
故选：B

点评 本题是典型的天体运动的问题，根据万有引力提供向心力是解决这类问题的重要的关系，要能根据题目的要求熟练选择不同的向心力的表达式