Question

3．一长木板在水平面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，木板速度v₀=5m/s．已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板间动摩擦因数为μ₁=0.20，木板与地面间的摩擦因数μ₂=0.30．假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）物块和木板达到共同速度所需要的时间及此时速度的大小；
（2）从t=0时刻到物块和木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求解物块和木板的加速度大小，再根据速度时间关系求解速度相等时的时间及速度；
（2）求出速度相等后的加速度，再根据位移时间关系求解二者的总位移，然后求解相对位移即可．

解答 解：（1）从t=0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块做匀加速运动，加速度大小为a₁；木板做匀减速运动，加速度大小为a₂；t₁时刻物块和木板具有共同速度v．
对物块根据牛顿第二定律可得：μ₁mg=ma₁         
解得a₁=2m/s²，
v=a₁t₁，
对木板根据牛顿第二定律可得：μ₁mg+2μ₂mg=ma₂       
解得：a₂=8m/s²，
根据速度时间关系：v=v₀-a₂ t₁
带入数据解得：t₁=0.5s，v=1m/s；              
（2）在t₁时刻后，物块与木板不能一起做匀减速运动
设物块和木板的加速度大小分别为a′₁和a′₂，
对物块：μ₁mg=ma′₁，解得：a′₁=μ₁g=2m/s²
对木板：2μ₂mg-μ₁mg=ma′₂，
解得：${a}_{2}=4m/{s}^{2}$；
由上式知，物块加速度大小a′₁=a₁．由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为：
物块：x₁=2×$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=2×$\frac{1}{2×2}$m=0.5m
木板：x₂=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{5+1}{2}×0.5+\frac{1}{2×4}=1.625m$
物块相对于木板位移的大小为x=x₂-x₁=1.125m．
答：（1）物块和木板达到共同速度所需要的时间为0.5s，此时速度的大小为1m/s；
（2）从t=0时刻到物块和木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小为1.125m．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．