Question

17．如图，顶角为2θ的光滑圆锥面上用长为l细线悬挂一质量为a的小球，现在使圆锥体以角速度ω绕竖直中心轴做匀速圆周运动，求：
（1）ω=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，求细线对小球的拉力和圆锥面对小球的支持力；
（2）ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，求细线对小球的拉力和圆锥面对小球的支持力；
（3）ω=2$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，求细线对小球的拉力和圆锥面对小球的支持力．

Answer 1

分析 先求出小球刚要离开锥面时的临界速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度．当角速度大于临界角速度，则物体离开锥面，当角速度小于临界角速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力和支持力．

解答 解：当小球刚要离开锥面时的临界条件为圆锥体对小球的支持力N=0，由牛顿第二定律得：
mgtanθ=m${{ω}_{0}}^{2}lsinθ$得：ω₀=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$
（1）ω=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$＜$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$则，N₁≠0，对小球受力分析如图1所示．则得
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
T₁sinθ-N₁sinθ=mω²lsinθ
解之得：T₁=$\frac{mg}{cosθ}-\frac{3mg}{4（sinθ+cosθ）cosθ}$，${N}_{1}=\frac{3mg}{4（sinθ+cosθ）}$
（2）ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，圆锥体对小球的支持力N₃=0，根据几何关系得${T}_{3}=\frac{mg}{cosθ}$，
（3）ω=2$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$＞$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$，小球离开斜面，则圆锥体对小球的支持力N₂=0，对小球受力分析如图2所示．
则T₂cosα-mg=0
T₂sinα=mω²lsinα
解之得：T₂=$\frac{4mg}{cosθ}$．
答：（1）ω=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，细线对小球的拉力为$\frac{mg}{cosθ}-\frac{3mg}{4（sinθ+cosθ）cosθ}$，圆锥面对小球的支持力为$\frac{3mg}{4（sinθ+cosθ）}$；
（2）ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，细线对小球的拉力为$\frac{mg}{cosθ}$，圆锥面对小球的支持力为0；
（3）ω=2$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$时，细线对小球的拉力为$\frac{4mg}{cosθ}$，圆锥面对小球的支持力为0．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，正确分析物体的受力情况，再运用牛顿第二定律求解．要注意小球圆周运动的半径不是L，而是Lsinθ