Question

8．如图所示，重力为G的小球套在固定在竖直面内的半径为R的光滑的大圆环上，劲度为k的轻弹簧上端固定在大圆环的最高点，下端与小球相连，当小球静止时，弹簧处于伸长状态，与竖直方向间的夹角为θ=30°求
（1）大圆环对小球弹力的大小F₁；
（2）弹簧对小球拉力的大小F₂；
（3）弹簧的原长．

Answer 1

分析 以小环为研究对象，分析受力情况，画出力图，根据平衡条件，运用三角形相似法求解即可．

解答 解：（1）选小环为研究对象，其受力情况如图所示，由于小环处于平衡状态；G，F₁，F₂三个力合力为零．可知弹簧处于拉伸状态．
由图可知，△AOB是等腰三角形，所以F₁=G=mg，
（2）弹簧对小球拉力的大小：${F}_{2}=2mgcosθ=2mgcos30°=\sqrt{3}mg$
（3）受力如图所示，设弹簧与竖直方向夹角为θ．由几何关系可以看出OB与竖直方向之间的夹角是2θ，F₁，F₂夹角为180°-θ．
根据几何关系，有：$\frac{{F}_{2}}{sin2θ}=\frac{mg}{-sin（180°-θ）}$
由胡克定律，有F=k（2Rcosθ-L）
解得：L=$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{3}mg}{k}$ 
答：（1）大圆环对小球弹力的大小是mg；
（2）弹簧对小球拉力的大小是$\sqrt{3}$mg；
（3）弹簧的原长是$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{3}mg}{k}$．

点评 对于涉及非直角三角形的力平衡问题，可以运用三角相似法处理，也可以运用三角函数法研究．