Question

9．如图所示是一皮带传输装载机械示意图．井下挖掘工将矿物无初速放置于沿图示方向运行的传送带A端，被传输到末端B处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C处，然后水平抛到货台上．已知半径为R=0.4m的圆形轨道与传送带在B点相切，O点为圆形轨道的圆心，BO、CO分别为圆形轨道的半径，矿物可视为质点，传送带与水平面间的夹角θ=37°，矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.85，传送带匀速运动的速度为v₀=6m/s，传送带A、B两点间的长度为L=40m．若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为s=2m，竖直距离为h=1.25m，矿物质量m=5kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）矿物到达C点时对轨道的压力大小；
（2）矿物到达B点时的速度大小；
（3）矿物由A点到达C点的过程中，摩擦力对矿物所做的功．

Answer 1

分析 （1）矿物从C到D过程做平抛运动，由平抛运动的规律求出经过C点时的速度大小，根据牛顿第二定律求得轨道对矿物的压力，即可得到矿物到达C点时对轨道的压力大小．
（2）先假设矿物在AB段始终加速，根据动能定理求出矿物到达B点时的速度大小，将此速度与送带匀速运行的速度v₀=8m/s进行比较，确定假设是否合理．从而得到B点的速度．
（3）矿物由A到C过程中，重力和摩擦力对矿物做功，由动能定理求摩擦力对矿物所做的功．

解答 解：（1）矿物离开C后做平抛运动，
在水平方向：s=v_Ct，
在竖直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²，
矿物在C点，由牛顿第二定律得：mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律可知，矿物对轨道的压力：N′=N，
联立并代入数据得：N′=150N，方向竖直向上；
（2）设矿物在AB段始终处于匀加速状态，由动能定理得：
（μmgcosθ-mgsinθ）L=$\frac{1}{2}$mv′²，
代入数据解得：v′=8m/s＞v₀=6m/s，
由此可知，矿物在传送带上先加速到与传送带速度相等，然后匀速运动到B点，到达B点时的速度为6m/s；
（3）从A到C过程，由动能定理得：
  W_f-mg[Lsinθ+R（1+cosθ）]=$\frac{1}{2}$mv_C²-0，
代入数据解得：W_f=1276J；
答：（1）矿物到达C点时对轨道的压力大小为150N；
（2）矿物到达B点时的速度大小为6m/s；
（3）矿物由A点到达C点的过程中，摩擦力对矿物所做的功为1276J．

点评 本题中涉及力在空间的效果，要首先考虑动能定理，对于平抛运动，要熟练掌握分运动的规律，要求同学们能根据题目要求选取不同的研究过程运用动能定理解题．