Question

4．一足够长竖直放置的圆柱形气缸内，有一轻质活塞封闭着一定量的理想气体，气缸壁导热良好，活塞可以沿气缸内壁做无摩擦的滑动，同时有一弹簧两端分别与活塞下表面和气缸底部连接，弹簧劲度系数为k．开始时封闭气体的压强为P，活塞与气缸底部的高度为h，弹簧刚好处于原长，外界温度为T₀，当外界温度升高到某一温度时，活塞上升了h的距离后达到平衡．然后再往活塞上表面缓慢增加质量为m的沙子，活塞下降了$\frac{h}{2}$，求最后达到平衡后理想气体压强为多少？温度T为多少？已知外界大气的压强始终保持不变，重力加速度为g．

Answer 1

分析 气体先发生等压变化，然后再发生等温变化，以活塞为研究对象，分别求出气体的压强，然后由玻意耳定律与盖吕萨克定律求出气体的温度和压强．

解答 解：以活塞为研究对象，开始时两侧平衡，则气体的压强与外界大气压是相等的；
设活塞的横截面积为S，往活塞上表面缓慢增加质量为m的沙子后，活塞相对于开始时的位置升高了$\frac{h}{2}$，此时的压强P₁：
${P}_{1}S=PS+mg+\frac{1}{2}kh$
所以：${P}_{1}=P+\frac{mg+\frac{1}{2}kh}{S}$…①
根据理想气体的状态方程：
$\frac{Ph•S}{{T}_{0}}=\frac{{P}_{1}（h+\frac{1}{2}h）S}{T}$
联立得：T=$1.5{T}_{0}+\frac{1.5{T}_{0}（mg+0.5kh）}{PS}$…②
又由于外界温度升高到某一温度时，活塞上升了h的距离后达到平衡，设此时的压强为P₂，则：
${P}_{2}=P+\frac{kh}{S}$
$\frac{Ph•S}{{T}_{0}}=\frac{{P}_{2}（h+h）S}{T}$
联立得：$T=2{T}_{0}+\frac{2{T}_{0}•kh}{PS}$…③
联立②③得：S=$\frac{3mg-2.5kh}{P}$…④
联立得：${P}_{1}=P（\frac{4mg+3kh}{3mg+2.5kh}）$；
T=$\frac{6{T}_{0}（2mg-kh）}{6mg-5kh}$
答：最后达到平衡后理想气体压强为$P（\frac{4mg+3kh}{3mg+2.5kh}）$；温度T为$\frac{6{T}_{0}（2mg-kh）}{6mg-5kh}$．

点评 本题是力学与热学相结合的一道综合题，应用理想气体状态方程与玻意耳定律、共点力平衡即可正确解题，解题时要注意研究对象的选择．