Question

12．如图所示，在足够长的绝缘板MN上方距离为d的O点处，水平向左发射一个速率为v₀，质量为m、电荷为q的带正电的粒子（不考虑粒子重力）．
（1）若在绝缘板上方加一电场强度大小为E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$、方向竖直向下的匀强电场，求带电粒子打到板上距P点的水平距离（已知OP⊥MN）；
（2）若在绝缘板的上方只加一方向垂直纸面，磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qd}$的匀强磁场，求：
①带电粒子在磁场中运动半径； 
②若O点为粒子发射源，能够在纸面内向各个方向发射带电粒子（不考虑粒子间的相互作用），求发射出的粒子打到板上的最短时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，将运动沿水平方向与竖直方向分解，结合运动学公式即可求出．
（2）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，写出牛顿第二定律的方程，即可得出半径；作出粒子在磁场中运动轨迹的临界状态，结合半径公式，通过几何关系求出发射出的粒子打到板上的最短时间．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律：qE=ma  
而$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$  
得出加速度：$a=\frac{{v}_{0}^{2}}{2d}$   
粒子类平抛运动：$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
s=v₀t  
联立得：s=2d 
（2）①加匀强磁场时带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
而B=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qd}$  
联立得：r=d
②以OP为弦长时粒子打到板上的时间最短，由几何关系可知，对应的圆心角θ=60°
所以：$t=\frac{60°}{360°}•T=\frac{1}{6}T$
而$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}$
联立得：最短时间 $t=\frac{πd}{3{v}_{0}}$
答：（1）若在绝缘板上方加一电场强度大小为E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$、方向竖直向下的匀强电场，带电粒子打到板上距P点的水平距离是2d；
（2）①带电粒子在磁场中运动半径是d； 
②若O点为粒子发射源，能够在纸面内向各个方向发射带电粒子，发射出的粒子打到板上的最短时间是$\frac{πd}{3{v}_{0}}$．

点评 本题考查了带电粒子在匀强磁场中的运动，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；确定带电粒子轨迹的范围一般应用画图的方法找出，同时可以结合几何知识进行分析．