Question

3．如图所示，三角形传送带以v=7m/s的速度顺时针匀速转动，传送带两边倾斜部分的长度都是L=9m，且与水平方向的夹角均为37°．现有两个质量均为m=1kg的可视为质点的物体A和B，从传送带顶端处都以v₀=1m/s的对地初速度同时分别沿传送带两倾斜部分下滑，两个物体与传送带间的动摩擦因数都是μ=0.75．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）A、B两物体到达传送带底端的时间差；
（2）A、B两物体整个下滑过程中因摩擦产生的总热量．

Answer 1

分析 （1）分析B重力沿斜面向下的分力与摩擦力的关系，判断B物体的运动规律，A所受的摩擦力沿斜面向上，向下做匀变速直线运动，结合运动学公式分析求解时间差．
（2）由运动学的公式求出二者相对于传送带的位移，然后由Q=fs_相对即可求出．

解答 解：（1）对B，在速度未达到v=7 m/s之前，受到沿着传送带向下的摩擦力，由牛顿第二定律有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma_B
代入数据得到：a_B=12 m/s²
设经过时间t₁，B与传送带达到共同速度，由运动学公式得
v=v₀+a_Bt₁，代入数据解得t₁=0.5 s．
此时B已下滑的对地位移x=$\frac{v+{v}_{0}}{2}$t₁=$\frac{7+1}{2}×0.5m$=2 m．
经分析，此后物体B与传送带一起匀速下滑到底端：
L-x=v t₂  
代入数据解得t₂=1 s  
B下滑的总时间为：t_B=t₁+t₂=1.5 s  
对A由牛顿第二定律，有：mgsin37°-μmgcos37°=ma_A
解得a_A=0，
即A一直做匀速直线运动，故：t_A=$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{9}{1}s$=9 s 
A、B两物体到达传送带底端的时间差为：△t=t_A-t_B=7.5 s 
（2）B只是在与传送带发生相对滑动的过程中，与传送带有相对位移，相对位移为：
△x_B=v t₁-x=7×0.5-2m=1.5 m，
A一直匀速运动，但是与传送带的运动方向相反，故与传送带的相对位移为：
△x_A=v t_A+v₀ t_A=7×9+1×9m=72 m．
A、B两物体滑动摩擦力产生热量分别为：Q_A=μmgcos37°△x_A，Q_B=μmgcos37°△x_B，
代入数据解得：Q=Q_A+Q_B=441 J  
答：（1）A、B两物体到达传送带底端的时间差为7.5s；
（2）A、B两物体整个下滑过程中因摩擦产生的总热量为441J．

点评 解决本题的关键能正确对其受力分析，判断A、B在传送带上的运动规律，结合运动学公式分析求解；特别分析相对位移时，找出物理量间的关系是解据相对位移的关键．