Question

15．天体A和B组成双星系统，围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的周期均为T．天体A、B的半径之比为2：1，两天体球心之间的距离为R，且R远大于两天体的半径．忽略天体的自转，天体A、B表面重力加速度之比为4：1，引力常量为G．求A天体的质量．

Answer 1

分析 明确双星之间的引力提供各自的向心力； 分别根据万有引力定律对两天体进行分析； 再根据双星周期相同可知它们始终在同一直线上可得出半径关系；同时根据天体表面重力加速度，由万有引力定律列式；联立即可求得A天体的质量．

解答 解：记A、B两天体的质量分别为M₁、M₂，半径分别为2r和r围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的轨道半径分别为R₁、R₂，根据万有引力定律可得：
$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{R^2}={M_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_1}$
$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{R^2}={M_2}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_2}$
又R₁+R₂=R
在天体A、B表面重力加速度分别为4g、g，则：4mg=$\frac{{G{M_1}m}}{{{{（2r）}^2}}}$
mg=$\frac{{G{M_2}m}}{r^2}$
联立得：M₁=$\frac{{64{π^2}{R^3}}}{{17G{T^2}}}$
答：A天体的质量为$\frac{{64{π^2}{R^3}}}{{17G{T^2}}}$．

点评 本题考查双星系统，要注意明确双星系统的特点是：圆心相同、角速度相同、受到的万有引力大小相同； 同时注意联立方程求解．