如果椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

函数f（x）=2^x+1+m的反函数y=f^-1（x）的图象经过点（10，3），则y=f（x）在区间[-1，5]上的最小值为（　　）

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；
（3）过双曲线C：x²-y²=1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N₁、N₂两点，求证：对任意的k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]，在伴随曲线C₁上总存在点S，使得

FN1

•

FN2

=

FS

2．

（2013•松江区一模）已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）若bn=

an+1

an

（n∈N^*），求证：数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

（2013•松江区一模）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点Q(

x

，

y

)．
若曲线C0：

x

4

+

y

2

=1(x≥0，y≥0)经变换T后得到曲线C₁，曲线C₁经变换T后得到曲线C₂…，依此类推，曲线C_n-1经变换T后得到曲线C_n，当n∈N^*时，记曲线C_n与x、y轴正半轴的交点为A_n（a_n，0）和B_n（0，b_n）．某同学研究后认为曲线C_n具有如下性质：
①对任意的n∈N^*，曲线C_n都关于原点对称；
②对任意的n∈N^*，曲线C_n恒过点（0，2）；
③对任意的n∈N^*，曲线C_n均在矩形OA_nD_nB_n（含边界）的内部，其中D_n的坐标为D_n（a_n，b_n）；
④记矩形OA_nD_nB_n的面积为S_n，则

lim

n→∞

Sn=1
其中所有正确结论的序号是．

（2007•河东区一模）已知：抛物线方程为y=

1

4

x²+1，点P（x₀，y₀）在抛物线上，且点P处抛物线的切线为直线l．
（Ⅰ）写出直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l交x轴于点Q，求使|PQ|的长最小的P点坐标．

（2007•河东区一模）已知公差不为零的等差数列{x_n}和等比数列{y_n}中，x₁=y₁=1，x₂=y₂，x₆=y₃．是否存在常数a、b，使得对于一切正整数n，都有x_n=log_ay_n+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，请说明理由．

（2007•河东区一模）箱中装有大小相同的五个白球，三个红球．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是红球则结束，若取出的是白球，则白球不放回并继续从箱中任意取出一个球，但取出四个白球取球也结束．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望．

（2007•河东区一模）已知a、b为常数，且

lim

x→1

x+a -b

x-1

=

1

4

，则ab=．