Question

（2013•松江区一模）已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）若bn=

an+1

an

（n∈N^*），求证：数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0），由a₁、a₂、a₄成等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由a_n+1=n+1，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1对n∈N^*都成立，能推导出cn=

4，(n=1) 2n，(n≥2)

，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t，由bn=

n+1

n

，只需

n+1

n

=

k+1

k

•

t+1

t

，由此能够证明数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

解答：解：（1）∵{a_n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0）…（1分）
∵a₁、a₂、a₄成等比数列，
∴

a

2 2

=a1•a4…（2分）
由  （1+d）²=1×（1+3d）及d＞0，得d=1，…（3分）
∴a_n=n（n∈N^*）．…（4分）
（2）∵a_n+1=n+1，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1对n∈N^*都成立，
当n=1时，

c1

2

=2，得c₁=4，…（5分）
当n≥2时，由

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1，①
及

c1

2

+

c2

22

+…+

cn-1

2n-1

=n，②
①-②得

cn

2n

=1，得cn=2n…（7分）
∴cn=

4，(n=1) 2n，(n≥2)

．…（8分）
∴c1+c2+…+c2012=4+22+23+…+22012=4+

22(1-22011)

1-2

=22013…（10分）
（3）对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t…（11分）
∵bn=

n+1

n

，只需

n+1

n

=

k+1

k

•

t+1

t

，…（12分）
即1+

1

n

=(1+

1

k

)•(1+

1

t

)，即

1

n

=

1

k

+

1

t

+

1

kt

即kt=nt+nk+n，t=

n(k+1)

k-n

取k=n+1，则t=n（n+2）…（14分）
∴对数列{b_n}中的任意一项bn=

n+1

n

，
都存在bn+1=

n+2

n+1

和bn2+2n=

n2+2n+1

n2+2n

，
使得bn=bn+1•bn2+2n．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，综合性强，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．