Question

（2007•河东区一模）已知：抛物线方程为y=

1

4

x²+1，点P（x₀，y₀）在抛物线上，且点P处抛物线的切线为直线l．
（Ⅰ）写出直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l交x轴于点Q，求使|PQ|的长最小的P点坐标．

Answer 1

分析：解：（I）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；
（II）对于切线方程，令y=0，当x₀≠0时，得x=

x 2 0 -4

2x0

，即可得到Q(

x 2 0 -4

2x0

，0)．利用两点间的距离公式可得|PQ|²，通过换元，利用导数研究其单调性即可得出其最小值．

解答：解：（I）∵y′=

1

2

x，∴点P处抛物线的切线斜率为

1

2

x0．
∴切线l的方程为y-(

1

4

x

2 0

+1)=

1

2

x0(x-x0)．
（II）令y=0，当x₀≠0时，得x=

x 2 0 -4

2x0

，∴Q(

x 2 0 -4

2x0

，0)．
∴|PQ|²=(x0-

x 2 0 -4

2x0

)2+(

1

4

x

2 0

+1)2=

( x 2 0 +4)2

16

•(

4

x 2 0

+1)．
令t=

x

2 0

＞0，则f（t）=(t+4)2(

4

t

+1)=

(t+4)3

t

．
∴f′（t）=

2(t+4)2(t-2)

t2

，由t＞0，解f′（t）=0得t=2．
当0＜t＜2时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；当2＜t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增．
∴当t=2时，f（t）取得最小值，
从而当x0=±

2

时，|PQ|的长最小，此时P点坐标为(±

2

，

3

2

)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、切线方程、两点间的公式等是解题的关键．