【题目】设椭圆： 的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线交椭圆于， 两点， （）为椭圆上一点，求面积的最大值．

【题目】已知函数f（x）= ，x∈R，a∈R．
（1）a=1时，求证：f（x）在区间（﹣∞，0）上为单调增函数；
（2）当方程f（x）=3有解时，求a的取值范围．

【题目】某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90°，甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元）关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．

【题目】如图所示，已知椭圆的焦距为 ，直线被椭圆 截得的弦长为 .

（1）求椭圆 的方程；

（2）设点是椭圆 上的动点，过原点引两条射线与圆分别相切，且的斜率存在. ①试问 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；

②若射线与椭圆 分别交于点，求的最大值.

【题目】已知函数 恰有两个极值点，且.

（1）求实数 的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【题目】已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于， 两点，且，求直线的方程.

若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.

（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？

（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.

（i）共有多少种不同的抽取方法？

（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.

【题目】已知椭圆: 上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为 ，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为曲线上两点， 为坐标原点，直线 的斜率分别为，且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.

【题目】已知椭圆： ，设直线与椭圆交于不同两点，且．若点满足，则=______________.