Question

【题目】已知函数 恰有两个极值点，且.

（1）求实数 的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导，将问题转化为导函数存在零点问题，再利用导数的符号确定函数的单调性和极值，再利用极值的符号确定零点的个数；（2）两式相减，合理等价转化，再构造函数，再利用导数的符号变换确定函数的单调性和最值.

试题解析： (1) ,依题意得为方程的两不等正实数根, ,令.当时， ；当时， ， 在 上单调递增，在上单调递减，且， ，当时， ，解得，故实数 的取值范围是.

(2)由（1）得, 两式相减得,

,

，令，即，令，则需满足在上恒成立， ，令，则.

①当时， 上单调递减, 在上单调递增 , , 符合题意 ； ②当时， 上单调递增, 在上单调递减, , 不符合题意；③当时， 在 上单调递增， 在上单调递减, , 不符合题意，综上所述，实数的取值范围是.