【题目】如图，在直三棱柱中，，，是的中点.

⑴求证：；

⑵求二面角的余弦值；

【题目】已知函数，其中且.

（Ⅰ）讨论的单调区间；

（Ⅱ）若直线的图象恒在函数图像的上方，求的取值范围；

（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.

【题目】已知函数．

（1）若在处取得极小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时，．

【题目】对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”．给出以下问题：

①在区间上可被替代；

②可被替代的一个“替代区间”为；

③在区间可被替代，则；

④（），（），则存在实数（），使得在区间上被替代； 其中真命题有 ．

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；

（Ⅱ）若在区间上单调递增，求的取值范围；

【题目】设函数.

（1）当时，求函数在上的最大值的表达式；

（2）当时，讨论函数在上的零点个数.

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，,为的中点.

（1）若，求证：；

（2）若，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值.

【题目】已知数列，，其前项和满足，其中．

（1）设，证明：数列是等差数列；

（2）设，为数列的前项和，求证：；

（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

【题目】已知数列，满足：，，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．