Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数在上的最大值的表达式；

（2）当时，讨论函数在上的零点个数.

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

试题分析：（1)利用题意消元，配方得到二次函数的对称轴，讨论对称轴与所给区间上的关系进行求解；(2)先化简得到一元二次方程，再利用分类讨论思想对判别式进行讨论求解．

试题解析：（1）当时，

，对称轴为直线.

当即时，在上是增函数，所以.………………1分

当即时，在上是减函数，在上是增函数，

且，所以.………………2分

当即时，在上是减函数，在上是增函数，

且，所以.………………3分

当即时，在上是减函数，所以.

综上所述，.………………4分

（2）当时，.

令，即，

解得或.………………5分

当时，，即.

因为，

所以当即时，方程有两个实数解.………………6分

当即时，方程有且只有一个实数解.………………7分

当即时，方程没有实数解.………………8分

当时，，即.

因为，

所以当即时，方程有两个实数解.………………9分

当即时，方程有且只有一个实数解.………………10分

当即时，方程没有实数解.………………11分

综上所述，当时，函数在上的零点个数是4；

当时，函数在上的零点个数是3；

当时，函数在上的零点个数是2；

当时，函数在上的零点个数是1；

当时，函数在上的零点个数是0.………………12分