【题目】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为．计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数（其中为常数）模型．

（1）求的值；

（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为．

①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．

【题目】已知函数．

（1）设是函数的极值点，求并讨论的单调性；

（2）设是函数的极值点，且恒成立，求的取值范围（其中常数满足）．

【题目】已知圆的圆心为原点，且与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）点在直线上，过点引圆的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点.

【题目】在四棱锥中，平面，，底面是梯形，∥，，．

（1）求证：平面平面；

（2）设为棱上一点， ，试确定的值使得二面角为．

【题目】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．

(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．

【题目】某品牌茶壶的原售价为80元一个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下的方法促销：如果只购买一只茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；…；如果一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个。乙店一律按原价的75%销售。现某茶社要购买这种茶壶个，如果全部在甲店购买，则所需金额为元；如果全部在乙店购买，则所需金额为元。

（1）分别求出、与之间的函数关系式。

（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

【题目】已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且 (且)， .

(1)求证： 是等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

(3)设四边形的面积是，求证： .

【题目】已知函数是偶函数，为实常数．

（1）求的值；

（2）当时，是否存在，使得函数在区间上的函数值组成的集合也是，若存在，求出，的值；否则，说明理由．

【题目】设函数．

（1）在区间上画出函数的图象；

（2）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明；

（3）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方．