题目内容
【题目】已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．
(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (1，＋∞) (2) [0，1]
【解析】
试题分析：(1)定义域为R转化为不等式ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，结合二次函数性质可求解a的取值范围；(2)由值域是全体实数可知对数的真数可以取到所有的正数，进而转化为一次函数二次函数求解a的取值范围
试题解析：(1)欲使函数f(x)的定义域为R，只须ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有
，解得a＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；
(2)欲使函数 f (x)的值域为R，即要ax2＋2x＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值．
①当a＝0时，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－
，＋∞)时满足要求；
②当a≠0时，应有
0＜a≤1．当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足要求(其中x1，x2是方程ax 2＋2x＋1＝0的二根)．
综上，a的取值范围是[0，1]．
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