题目内容
【题目】已知函数的图象上有一点列
,点
在
轴上的射影是
,且
(
且
),
.
(1)求证: 是等比数列,并求出数列
的通项公式;
(2)对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)设四边形的面积是
,求证:
.
【答案】(1) ,
;(2)
;(3) 见解析;
【解析】试题分析:(1)利用等比数列定义证明;(2) 不等式恒成立,即求
的最大值,利用单调性,求出最值,进而转化为
,对任意
恒成立问题;(3)利用裂项相消法化简不等式的左侧即可.
试题解析:
(1)解:由 (
且
)得
(
且
)
∵,∴
,∴
,(
且
)
∴是首项为3,公比为3的等比数列.
∴.
∴,
.
(2)∵,
∵,
,又
,
∴故数列
单调递减,(此处也可作差
证明数列
单调递减)
∴当时,
取得最大值为
.
要使对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,
则须使,即
,对任意
恒成立,
∴,解得
或
,
∴实数的取值范围为
.
(3) ,而
,
∴四边形的面积为
,
∴故.
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