在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．若F是AC的中点，连接PF，EF．
（1）求证：AC⊥平面PEF．
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的大小．

已知在单位圆x²+y²=1上任取一点M，作MN⊥x轴，垂足为N，

NQ

=

2

NM

．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；
（Ⅲ）在0＜a＜1的条件下，设△POA的面积为S₁（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为S₂．若正数m满足S1≤

1

4

mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求四棱锥B-AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为

1

3

且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（2）若射击2次均击中目标，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A发生的概率．

如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y²=x于P₁点，过P₁点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q₁点，交Γ于P₂点；过P₂点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q₂点，交Γ于P₃点；过P₃点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q₃点，交Γ于P₄点；如此下去…．又设线段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n，…的面积分别为G₁，G₂，G₃，…，G_n，…，数列{a_n}的前n项的和为S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，

lim

n→∞

Gn

Sn

；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T_p•T_s与T_q•T_r的大小．

已知A={x|x²-5x+4=0}，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，C={x|x²-mx+4=0}，若A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的值．

设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=

5

9

，则P（η≥2）=．

记关于x的不等式

x-a

x-1

＜0的解集为P，不等式|x-1|＜1的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若a=-1，求P∪Q．

经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W(x)=

1

3

x2+x（万元），在年产量不小于8万件时，W(x)=6x+

100

x

-38（万元）．通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

设正四面体的四个顶点是A，B，C，D各棱长均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条 棱的尽头，则它爬了5米之后恰好再次位于顶点A的概率是（结果用分数表示）．