Question

在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．若F是AC的中点，连接PF，EF．
（1）求证：AC⊥平面PEF．
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用等腰三角形的性质可得PF⊥AC，由点E为点P在平面ABC上的正投影，可得PE⊥平面ABC，得到PE⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）由PE⊥平面ABC，可得PE⊥BC，而已知BC⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB，可得∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．利用已知可得BC及PC的长，进而即可求出．

解答： 解：（1）∵PA=PC，∴PF⊥AC．
∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC，
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P．PF?平面PEF，PE?平面PEF，
∴AC⊥平面PEF．
（2）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1．
∴AB=

BC

tan30°

=

3

，AC=2，∠DAC=60°．
∴AD=CD=AC=2．
∵PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC．
∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，
∴sin∠CPB=

BC

PC

=

1

2

．
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为 30°．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质、正投影的性质、线面垂直的判定和性质定理、线面角的定义、等边三角形的判定、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．